Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9529 / 9275
↖ ↑ ↗
← S 23.140360°
E 29.377442°		 ← 2 246.65 m → S 23.140360°
E 29.399414°		 →
↑
2 246.54 m
↓
↑
2 246.54 m
↓
S 23.160564°
E 29.377442°		 ← 2 246.31 m →
5 046 804 m²		 S 23.160564°
E 29.399414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581634521484375 y=0.566131591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581634521484375 × 214)
    floor (0.581634521484375 × 16384)
    floor (9529.5)     		tx = 9529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.566131591796875 × 214)
    floor (0.566131591796875 × 16384)
    floor (9275.5)     		ty = 9275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9529 / 9275 ti = "14/9529/9275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9529/9275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9529 ÷ 214
    9529 ÷ 16384     		x = 0.58160400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9275 ÷ 214
    9275 ÷ 16384     		y = 0.56610107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58160400390625 × 2 - 1) × π
    0.1632080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51273308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56610107421875 × 2 - 1) × π
    -0.1322021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.415325298308167
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51273308} λ = 0.51273308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.415325298308167))-π/2
    2×atan(0.660125508063338)-π/2
    2×0.583460427460222-π/2
    1.16692085492044-1.57079632675     		φ = -0.40387547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51273308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.377442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40387547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.140360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9529 KachelY 9275 0.51273308 -0.40387547 29.377442 -23.140360
    Oben rechts KachelX + 1 9530 KachelY 9275 0.51311657 -0.40387547 29.399414 -23.140360
    Unten links KachelX 9529 KachelY + 1 9276 0.51273308 -0.40422809 29.377442 -23.160564
    Unten rechts KachelX + 1 9530 KachelY + 1 9276 0.51311657 -0.40422809 29.399414 -23.160564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40387547--0.40422809) × R
    0.00035261999999997 × 6371000     		dl = 2246.54201999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40387547--0.40422809) × R
    0.00035261999999997 × 6371000     		dr = 2246.54201999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51273308-0.51311657) × cos(-0.40387547) × R
    0.000383490000000042 × 0.919544901855439 × 6371000     		do = 2246.64570428255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51273308-0.51311657) × cos(-0.40422809) × R
    0.000383490000000042 × 0.919406270335596 × 6371000     		du = 2246.30699770291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40387547)-sin(-0.40422809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919544901855439-0.919406270335596)×R²
    abs(0.51311657-0.51273308)×0.000138631519842503×R²
    0.000383490000000042×0.000138631519842503×6371000²
    0.000383490000000042×0.000138631519842503×40589641000000     		ar = 5046803.57173508m²