Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9529 / 9271
↖ ↑ ↗
← S 23.059516°
E 29.377442°		 ← 2 248 m → S 23.059516°
E 29.399414°		 →
↑
2 247.88 m
↓
↑
2 247.88 m
↓
S 23.079732°
E 29.377442°		 ← 2 247.66 m →
5 052 850 m²		 S 23.079732°
E 29.399414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581634521484375 y=0.565887451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581634521484375 × 214)
    floor (0.581634521484375 × 16384)
    floor (9529.5)     		tx = 9529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.565887451171875 × 214)
    floor (0.565887451171875 × 16384)
    floor (9271.5)     		ty = 9271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9529 / 9271 ti = "14/9529/9271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9529/9271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9529 ÷ 214
    9529 ÷ 16384     		x = 0.58160400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9271 ÷ 214
    9271 ÷ 16384     		y = 0.56585693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58160400390625 × 2 - 1) × π
    0.1632080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51273308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56585693359375 × 2 - 1) × π
    -0.1317138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.413791317520325
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51273308} λ = 0.51273308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.413791317520325))-π/2
    2×atan(0.661138904977251)-π/2
    2×0.584165921957914-π/2
    1.16833184391583-1.57079632675     		φ = -0.40246448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51273308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.377442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40246448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.059516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9529 KachelY 9271 0.51273308 -0.40246448 29.377442 -23.059516
    Oben rechts KachelX + 1 9530 KachelY 9271 0.51311657 -0.40246448 29.399414 -23.059516
    Unten links KachelX 9529 KachelY + 1 9272 0.51273308 -0.40281731 29.377442 -23.079732
    Unten rechts KachelX + 1 9530 KachelY + 1 9272 0.51311657 -0.40281731 29.399414 -23.079732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40246448--0.40281731) × R
    0.000352829999999971 × 6371000     		dl = 2247.87992999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40246448--0.40281731) × R
    0.000352829999999971 × 6371000     		dr = 2247.87992999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51273308-0.51311657) × cos(-0.40246448) × R
    0.000383490000000042 × 0.920098484153116 × 6371000     		do = 2247.99822473972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51273308-0.51311657) × cos(-0.40281731) × R
    0.000383490000000042 × 0.9199602279276 × 6371000     		du = 2247.66043508473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40246448)-sin(-0.40281731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.920098484153116-0.9199602279276)×R²
    abs(0.51311657-0.51273308)×0.000138256225515998×R²
    0.000383490000000042×0.000138256225515998×6371000²
    0.000383490000000042×0.000138256225515998×40589641000000     		ar = 5052850.48919325m²