Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9526 / 9285
↖ ↑ ↗
← S 23.342256°
E 29.311523°		 ← 2 243.31 m → S 23.342256°
E 29.333496°		 →
↑
2 243.10 m
↓
↑
2 243.10 m
↓
S 23.362429°
E 29.311523°		 ← 2 242.97 m →
5 031 583 m²		 S 23.362429°
E 29.333496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581451416015625 y=0.566741943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581451416015625 × 214)
    floor (0.581451416015625 × 16384)
    floor (9526.5)     		tx = 9526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.566741943359375 × 214)
    floor (0.566741943359375 × 16384)
    floor (9285.5)     		ty = 9285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9526 / 9285 ti = "14/9526/9285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9526/9285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9526 ÷ 214
    9526 ÷ 16384     		x = 0.5814208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9285 ÷ 214
    9285 ÷ 16384     		y = 0.56671142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5814208984375 × 2 - 1) × π
    0.162841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51158259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56671142578125 × 2 - 1) × π
    -0.1334228515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.419160250277771
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51158259} λ = 0.51158259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.419160250277771))-π/2
    2×atan(0.657598806432355)-π/2
    2×0.581698553820005-π/2
    1.16339710764001-1.57079632675     		φ = -0.40739922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51158259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.311523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40739922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.342256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9526 KachelY 9285 0.51158259 -0.40739922 29.311523 -23.342256
    Oben rechts KachelX + 1 9527 KachelY 9285 0.51196609 -0.40739922 29.333496 -23.342256
    Unten links KachelX 9526 KachelY + 1 9286 0.51158259 -0.40775130 29.311523 -23.362429
    Unten rechts KachelX + 1 9527 KachelY + 1 9286 0.51196609 -0.40775130 29.333496 -23.362429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40739922--0.40775130) × R
    0.000352079999999977 × 6371000     		dl = 2243.10167999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40739922--0.40775130) × R
    0.000352079999999977 × 6371000     		dr = 2243.10167999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51158259-0.51196609) × cos(-0.40739922) × R
    0.000383500000000092 × 0.918154415089097 × 6371000     		do = 2243.30694206781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51158259-0.51196609) × cos(-0.40775130) × R
    0.000383500000000092 × 0.918014856077718 × 6371000     		du = 2242.96596053582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40739922)-sin(-0.40775130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918154415089097-0.918014856077718)×R²
    abs(0.51196609-0.51158259)×0.00013955901137952×R²
    0.000383500000000092×0.00013955901137952×6371000²
    0.000383500000000092×0.00013955901137952×40589641000000     		ar = 5031583.19436031m²