Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9524 / 9276
↖ ↑ ↗
← S 23.160564°
E 29.267578°		 ← 2 246.37 m → S 23.160564°
E 29.289551°		 →
↑
2 246.16 m
↓
↑
2 246.16 m
↓
S 23.180764°
E 29.267578°		 ← 2 246.03 m →
5 045 315 m²		 S 23.180764°
E 29.289551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581329345703125 y=0.566192626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581329345703125 × 214)
    floor (0.581329345703125 × 16384)
    floor (9524.5)     		tx = 9524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.566192626953125 × 214)
    floor (0.566192626953125 × 16384)
    floor (9276.5)     		ty = 9276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9524 / 9276 ti = "14/9524/9276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9524/9276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9524 ÷ 214
    9524 ÷ 16384     		x = 0.581298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9276 ÷ 214
    9276 ÷ 16384     		y = 0.566162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581298828125 × 2 - 1) × π
    0.16259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51081560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.566162109375 × 2 - 1) × π
    -0.13232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.415708793505127
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51081560} λ = 0.51081560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.415708793505127))-π/2
    2×atan(0.659872401637256)-π/2
    2×0.583284120223167-π/2
    1.16656824044633-1.57079632675     		φ = -0.40422809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51081560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.267578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40422809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.160564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9524 KachelY 9276 0.51081560 -0.40422809 29.267578 -23.160564
    Oben rechts KachelX + 1 9525 KachelY 9276 0.51119910 -0.40422809 29.289551 -23.160564
    Unten links KachelX 9524 KachelY + 1 9277 0.51081560 -0.40458065 29.267578 -23.180764
    Unten rechts KachelX + 1 9525 KachelY + 1 9277 0.51119910 -0.40458065 29.289551 -23.180764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40422809--0.40458065) × R
    0.000352560000000002 × 6371000     		dl = 2246.15976000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40422809--0.40458065) × R
    0.000352560000000002 × 6371000     		dr = 2246.15976000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51081560-0.51119910) × cos(-0.40422809) × R
    0.000383499999999981 × 0.919406270335596 × 6371000     		do = 2246.36557307604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51081560-0.51119910) × cos(-0.40458065) × R
    0.000383499999999981 × 0.919267548113984 × 6371000     		du = 2246.0266360545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40422809)-sin(-0.40458065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919406270335596-0.919267548113984)×R²
    abs(0.51119910-0.51081560)×0.000138722221612042×R²
    0.000383499999999981×0.000138722221612042×6371000²
    0.000383499999999981×0.000138722221612042×40589641000000     		ar = 5045315.35540386m²