Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9420 / 9156
↖ ↑ ↗
← S 20.715015°
E 26.982422°		 ← 2 285.32 m → S 20.715015°
E 27.004395°		 →
↑
2 285.15 m
↓
↑
2 285.15 m
↓
S 20.735566°
E 26.982422°		 ← 2 285.01 m →
5 221 954 m²		 S 20.735566°
E 27.004395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574981689453125 y=0.558868408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574981689453125 × 214)
    floor (0.574981689453125 × 16384)
    floor (9420.5)     		tx = 9420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558868408203125 × 214)
    floor (0.558868408203125 × 16384)
    floor (9156.5)     		ty = 9156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9420 / 9156 ti = "14/9420/9156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9420/9156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9420 ÷ 214
    9420 ÷ 16384     		x = 0.574951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9156 ÷ 214
    9156 ÷ 16384     		y = 0.558837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574951171875 × 2 - 1) × π
    0.14990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47093210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558837890625 × 2 - 1) × π
    -0.11767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.369689369869873
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47093210} λ = 0.47093210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.369689369869873))-π/2
    2×atan(0.690948926860665)-π/2
    2×0.604625553957551-π/2
    1.2092511079151-1.57079632675     		φ = -0.36154522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47093210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.982422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36154522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.715015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9420 KachelY 9156 0.47093210 -0.36154522 26.982422 -20.715015
    Oben rechts KachelX + 1 9421 KachelY 9156 0.47131560 -0.36154522 27.004395 -20.715015
    Unten links KachelX 9420 KachelY + 1 9157 0.47093210 -0.36190390 26.982422 -20.735566
    Unten rechts KachelX + 1 9421 KachelY + 1 9157 0.47131560 -0.36190390 27.004395 -20.735566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36154522--0.36190390) × R
    0.00035868 × 6371000     		dl = 2285.15028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36154522--0.36190390) × R
    0.00035868 × 6371000     		dr = 2285.15028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47093210-0.47131560) × cos(-0.36154522) × R
    0.000383499999999981 × 0.935351365381345 × 6371000     		do = 2285.32388098177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47093210-0.47131560) × cos(-0.36190390) × R
    0.000383499999999981 × 0.935224432935028 × 6371000     		du = 2285.01374966473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36154522)-sin(-0.36190390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935351365381345-0.935224432935028)×R²
    abs(0.47131560-0.47093210)×0.000126932446317007×R²
    0.000383499999999981×0.000126932446317007×6371000²
    0.000383499999999981×0.000126932446317007×40589641000000     		ar = 5221954.21416764m²