Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9418 / 9144
↖ ↑ ↗
← S 20.468189°
E 26.938476°		 ← 2 289.03 m → S 20.468189°
E 26.960449°		 →
↑
2 288.85 m
↓
↑
2 288.85 m
↓
S 20.488773°
E 26.938476°		 ← 2 288.72 m →
5 238 875 m²		 S 20.488773°
E 26.960449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574859619140625 y=0.558135986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574859619140625 × 214)
    floor (0.574859619140625 × 16384)
    floor (9418.5)     		tx = 9418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558135986328125 × 214)
    floor (0.558135986328125 × 16384)
    floor (9144.5)     		ty = 9144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9418 / 9144 ti = "14/9418/9144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9418/9144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9418 ÷ 214
    9418 ÷ 16384     		x = 0.5748291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9144 ÷ 214
    9144 ÷ 16384     		y = 0.55810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5748291015625 × 2 - 1) × π
    0.149658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.47016511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55810546875 × 2 - 1) × π
    -0.1162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.365087427506348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47016511} λ = 0.47016511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.365087427506348))-π/2
    2×atan(0.69413596164887)-π/2
    2×0.606779516474185-π/2
    1.21355903294837-1.57079632675     		φ = -0.35723729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47016511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.938476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35723729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.468189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9418 KachelY 9144 0.47016511 -0.35723729 26.938476 -20.468189
    Oben rechts KachelX + 1 9419 KachelY 9144 0.47054861 -0.35723729 26.960449 -20.468189
    Unten links KachelX 9418 KachelY + 1 9145 0.47016511 -0.35759655 26.938476 -20.488773
    Unten rechts KachelX + 1 9419 KachelY + 1 9145 0.47054861 -0.35759655 26.960449 -20.488773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35723729--0.35759655) × R
    0.000359260000000028 × 6371000     		dl = 2288.84546000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35723729--0.35759655) × R
    0.000359260000000028 × 6371000     		dr = 2288.84546000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47016511-0.47054861) × cos(-0.35723729) × R
    0.000383499999999981 × 0.936866482341783 × 6371000     		do = 2289.0257336762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47016511-0.47054861) × cos(-0.35759655) × R
    0.000383499999999981 × 0.936740793232409 × 6371000     		du = 2288.71864017758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35723729)-sin(-0.35759655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936866482341783-0.936740793232409)×R²
    abs(0.47054861-0.47016511)×0.000125689109374827×R²
    0.000383499999999981×0.000125689109374827×6371000²
    0.000383499999999981×0.000125689109374827×40589641000000     		ar = 5238874.76991552m²