Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9412 / 9164
↖ ↑ ↗
← S 20.879343°
E 26.806641°		 ← 2 282.84 m → S 20.879343°
E 26.828614°		 →
↑
2 282.67 m
↓
↑
2 282.67 m
↓
S 20.899871°
E 26.806641°		 ← 2 282.52 m →
5 210 595 m²		 S 20.899871°
E 26.828614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574493408203125 y=0.559356689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574493408203125 × 214)
    floor (0.574493408203125 × 16384)
    floor (9412.5)     		tx = 9412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559356689453125 × 214)
    floor (0.559356689453125 × 16384)
    floor (9164.5)     		ty = 9164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9412 / 9164 ti = "14/9412/9164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9412/9164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9412 ÷ 214
    9412 ÷ 16384     		x = 0.574462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9164 ÷ 214
    9164 ÷ 16384     		y = 0.559326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574462890625 × 2 - 1) × π
    0.14892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46786414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559326171875 × 2 - 1) × π
    -0.11865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.372757331445557
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46786414} λ = 0.46786414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.372757331445557))-π/2
    2×atan(0.688832370519214)-π/2
    2×0.603191523145524-π/2
    1.20638304629105-1.57079632675     		φ = -0.36441328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46786414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.806641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36441328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.879343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9412 KachelY 9164 0.46786414 -0.36441328 26.806641 -20.879343
    Oben rechts KachelX + 1 9413 KachelY 9164 0.46824764 -0.36441328 26.828614 -20.879343
    Unten links KachelX 9412 KachelY + 1 9165 0.46786414 -0.36477157 26.806641 -20.899871
    Unten rechts KachelX + 1 9413 KachelY + 1 9165 0.46824764 -0.36477157 26.828614 -20.899871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36441328--0.36477157) × R
    0.000358289999999983 × 6371000     		dl = 2282.66558999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36441328--0.36477157) × R
    0.000358289999999983 × 6371000     		dr = 2282.66558999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46786414-0.46824764) × cos(-0.36441328) × R
    0.000383500000000037 × 0.934333029661168 × 6371000     		do = 2282.83580321121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46786414-0.46824764) × cos(-0.36477157) × R
    0.000383500000000037 × 0.934205274719889 × 6371000     		du = 2282.52366230992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36441328)-sin(-0.36477157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934333029661168-0.934205274719889)×R²
    abs(0.46824764-0.46786414)×0.00012775494127959×R²
    0.000383500000000037×0.00012775494127959×6371000²
    0.000383500000000037×0.00012775494127959×40589641000000     		ar = 5210594.53470337m²