Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9296 / 9298
↖ ↑ ↗
← S 23.604262°
E 24.257813°		 ← 2 238.80 m → S 23.604262°
E 24.279785°		 →
↑
2 238.64 m
↓
↑
2 238.64 m
↓
S 23.624395°
E 24.257813°		 ← 2 238.45 m →
5 011 483 m²		 S 23.624395°
E 24.279785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567413330078125 y=0.567535400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567413330078125 × 214)
    floor (0.567413330078125 × 16384)
    floor (9296.5)     		tx = 9296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567535400390625 × 214)
    floor (0.567535400390625 × 16384)
    floor (9298.5)     		ty = 9298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9296 / 9298 ti = "14/9296/9298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9296/9298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9296 ÷ 214
    9296 ÷ 16384     		x = 0.5673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9298 ÷ 214
    9298 ÷ 16384     		y = 0.5675048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5673828125 × 2 - 1) × π
    0.134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42337870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5675048828125 × 2 - 1) × π
    -0.135009765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.424145687838257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42337870} λ = 0.42337870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.424145687838257))-π/2
    2×atan(0.654328547252918)-π/2
    2×0.579412120035876-π/2
    1.15882424007175-1.57079632675     		φ = -0.41197209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42337870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.257813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41197209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.604262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9296 KachelY 9298 0.42337870 -0.41197209 24.257813 -23.604262
    Oben rechts KachelX + 1 9297 KachelY 9298 0.42376219 -0.41197209 24.279785 -23.604262
    Unten links KachelX 9296 KachelY + 1 9299 0.42337870 -0.41232347 24.257813 -23.624395
    Unten rechts KachelX + 1 9297 KachelY + 1 9299 0.42376219 -0.41232347 24.279785 -23.624395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41197209--0.41232347) × R
    0.000351380000000012 × 6371000     		dl = 2238.64198000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41197209--0.41232347) × R
    0.000351380000000012 × 6371000     		dr = 2238.64198000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42337870-0.42376219) × cos(-0.41197209) × R
    0.000383489999999986 × 0.916332946451931 × 6371000     		do = 2238.79820733556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42337870-0.42376219) × cos(-0.41232347) × R
    0.000383489999999986 × 0.916192191291469 × 6371000     		du = 2238.45431224575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41197209)-sin(-0.41232347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916332946451931-0.916192191291469)×R²
    abs(0.42376219-0.42337870)×0.000140755160461858×R²
    0.000383489999999986×0.000140755160461858×6371000²
    0.000383489999999986×0.000140755160461858×40589641000000     		ar = 5011482.7742615m²