Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9294 / 9295
↖ ↑ ↗
← S 23.543845°
E 24.213867°		 ← 2 239.83 m → S 23.543845°
E 24.235840°		 →
↑
2 239.66 m
↓
↑
2 239.66 m
↓
S 23.563987°
E 24.213867°		 ← 2 239.49 m →
5 016 073 m²		 S 23.563987°
E 24.235840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567291259765625 y=0.567352294921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567291259765625 × 214)
    floor (0.567291259765625 × 16384)
    floor (9294.5)     		tx = 9294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567352294921875 × 214)
    floor (0.567352294921875 × 16384)
    floor (9295.5)     		ty = 9295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9294 / 9295 ti = "14/9294/9295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9294/9295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9294 ÷ 214
    9294 ÷ 16384     		x = 0.5672607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9295 ÷ 214
    9295 ÷ 16384     		y = 0.56732177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5672607421875 × 2 - 1) × π
    0.134521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42261171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56732177734375 × 2 - 1) × π
    -0.1346435546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.422995202247375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42261171} λ = 0.42261171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.422995202247375))-π/2
    2×atan(0.655081776024577)-π/2
    2×0.57993935529715-π/2
    1.1598787105943-1.57079632675     		φ = -0.41091762
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42261171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.213867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41091762 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.543845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9294 KachelY 9295 0.42261171 -0.41091762 24.213867 -23.543845
    Oben rechts KachelX + 1 9295 KachelY 9295 0.42299520 -0.41091762 24.235840 -23.543845
    Unten links KachelX 9294 KachelY + 1 9296 0.42261171 -0.41126916 24.213867 -23.563987
    Unten rechts KachelX + 1 9295 KachelY + 1 9296 0.42299520 -0.41126916 24.235840 -23.563987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41091762--0.41126916) × R
    0.000351540000000039 × 6371000     		dl = 2239.66134000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41091762--0.41126916) × R
    0.000351540000000039 × 6371000     		dr = 2239.66134000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42261171-0.42299520) × cos(-0.41091762) × R
    0.000383490000000042 × 0.916754664856417 × 6371000     		do = 2239.82855597894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42261171-0.42299520) × cos(-0.41126916) × R
    0.000383490000000042 × 0.916614185303787 × 6371000     		du = 2239.48533425826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41091762)-sin(-0.41126916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916754664856417-0.916614185303787)×R²
    abs(0.42299520-0.42261171)×0.000140479552629635×R²
    0.000383490000000042×0.000140479552629635×6371000²
    0.000383490000000042×0.000140479552629635×40589641000000     		ar = 5016073.12650243m²