Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 926 / 1400
↖ ↑ ↗
← S 54.977613°
W 17.226562°		 ← 11.217 km → S 54.977613°
W 17.050781°		 →
↑
11.203 km
↓
↑
11.203 km
↓
S 55.078367°
W 17.226562°		 ← 11.189 km →
125.513 km²		 S 55.078367°
W 17.050781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452392578125 y=0.683837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452392578125 × 211)
    floor (0.452392578125 × 2048)
    floor (926.5)     		tx = 926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683837890625 × 211)
    floor (0.683837890625 × 2048)
    floor (1400.5)     		ty = 1400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 926 / 1400 ti = "11/926/1400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/926/1400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 926 ÷ 211
    926 ÷ 2048     		x = 0.4521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1400 ÷ 211
    1400 ÷ 2048     		y = 0.68359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4521484375 × 2 - 1) × π
    -0.095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30066023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68359375 × 2 - 1) × π
    -0.3671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.15355355245703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30066023} λ = -0.30066023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15355355245703))-π/2
    2×atan(0.315513580845869)-π/2
    2×0.305627976685362-π/2
    0.611255953370723-1.57079632675     		φ = -0.95954037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30066023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.226562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95954037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.977613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 926 KachelY 1400 -0.30066023 -0.95954037 -17.226562 -54.977613
    Oben rechts KachelX + 1 927 KachelY 1400 -0.29759227 -0.95954037 -17.050781 -54.977613
    Unten links KachelX 926 KachelY + 1 1401 -0.30066023 -0.96129885 -17.226562 -55.078367
    Unten rechts KachelX + 1 927 KachelY + 1 1401 -0.29759227 -0.96129885 -17.050781 -55.078367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95954037--0.96129885) × R
    0.00175848000000001 × 6371000     		dl = 11203.27608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95954037--0.96129885) × R
    0.00175848000000001 × 6371000     		dr = 11203.27608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30066023--0.29759227) × cos(-0.95954037) × R
    0.00306795999999998 × 0.573896450498898 × 6371000     		do = 11217.3646180707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30066023--0.29759227) × cos(-0.96129885) × R
    0.00306795999999998 × 0.572455495635847 × 6371000     		du = 11189.1997529927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95954037)-sin(-0.96129885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573896450498898-0.572455495635847)×R²
    abs(-0.29759227--0.30066023)×0.00144095486305074×R²
    0.00306795999999998×0.00144095486305074×6371000²
    0.00306795999999998×0.00144095486305074×40589641000000     		ar = 125513495.669936m²