Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 924 / 1452
↖ ↑ ↗
← S 59.888937°
W 17.578125°		 ← 9 805.78 m → S 59.888937°
W 17.402344°		 →
↑
9 792.80 m
↓
↑
9 792.80 m
↓
S 59.977005°
W 17.578125°		 ← 9 779.78 m →
95 898 757 m²		 S 59.977005°
W 17.402344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451416015625 y=0.709228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451416015625 × 211)
    floor (0.451416015625 × 2048)
    floor (924.5)     		tx = 924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.709228515625 × 211)
    floor (0.709228515625 × 2048)
    floor (1452.5)     		ty = 1452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 924 / 1452 ti = "11/924/1452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/924/1452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 924 ÷ 211
    924 ÷ 2048     		x = 0.451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1452 ÷ 211
    1452 ÷ 2048     		y = 0.708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451171875 × 2 - 1) × π
    -0.09765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30679616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.708984375 × 2 - 1) × π
    -0.41796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.31308755439258
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30679616} λ = -0.30679616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.31308755439258))-π/2
    2×atan(0.268988257058018)-π/2
    2×0.262768596223023-π/2
    0.525537192446046-1.57079632675     		φ = -1.04525913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30679616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.578125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.04525913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -59.888937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 924 KachelY 1452 -0.30679616 -1.04525913 -17.578125 -59.888937
    Oben rechts KachelX + 1 925 KachelY 1452 -0.30372820 -1.04525913 -17.402344 -59.888937
    Unten links KachelX 924 KachelY + 1 1453 -0.30679616 -1.04679622 -17.578125 -59.977005
    Unten rechts KachelX + 1 925 KachelY + 1 1453 -0.30372820 -1.04679622 -17.402344 -59.977005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.04525913--1.04679622) × R
    0.00153709000000002 × 6371000     		dl = 9792.80039000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.04525913--1.04679622) × R
    0.00153709000000002 × 6371000     		dr = 9792.80039000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30679616--0.30372820) × cos(-1.04525913) × R
    0.00306795999999998 × 0.501677781579305 × 6371000     		do = 9805.78045371738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30679616--0.30372820) × cos(-1.04679622) × R
    0.00306795999999998 × 0.500347522735573 × 6371000     		du = 9779.77925006193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.04525913)-sin(-1.04679622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501677781579305-0.500347522735573)×R²
    abs(-0.30372820--0.30679616)×0.00133025884373239×R²
    0.00306795999999998×0.00133025884373239×6371000²
    0.00306795999999998×0.00133025884373239×40589641000000     		ar = 95898757.2340057m²