Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9218 / 9230
↖ ↑ ↗
← S 22.228090°
E 22.543945°		 ← 2 261.71 m → S 22.228090°
E 22.565918°		 →
↑
2 261.51 m
↓
↑
2 261.51 m
↓
S 22.248428°
E 22.543945°		 ← 2 261.38 m →
5 114 510 m²		 S 22.248428°
E 22.565918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562652587890625 y=0.563385009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562652587890625 × 214)
    floor (0.562652587890625 × 16384)
    floor (9218.5)     		tx = 9218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.563385009765625 × 214)
    floor (0.563385009765625 × 16384)
    floor (9230.5)     		ty = 9230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9218 / 9230 ti = "14/9218/9230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9218/9230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9218 ÷ 214
    9218 ÷ 16384     		x = 0.5626220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9230 ÷ 214
    9230 ÷ 16384     		y = 0.5633544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5626220703125 × 2 - 1) × π
    0.125244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39346607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5633544921875 × 2 - 1) × π
    -0.126708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.398068014444946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39346607} λ = 0.39346607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.398068014444946))-π/2
    2×atan(0.671616346495514)-π/2
    2×0.59142148130077-π/2
    1.18284296260154-1.57079632675     		φ = -0.38795336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39346607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.543945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38795336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.228090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9218 KachelY 9230 0.39346607 -0.38795336 22.543945 -22.228090
    Oben rechts KachelX + 1 9219 KachelY 9230 0.39384957 -0.38795336 22.565918 -22.228090
    Unten links KachelX 9218 KachelY + 1 9231 0.39346607 -0.38830833 22.543945 -22.248428
    Unten rechts KachelX + 1 9219 KachelY + 1 9231 0.39384957 -0.38830833 22.565918 -22.248428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38795336--0.38830833) × R
    0.000354969999999954 × 6371000     		dl = 2261.51386999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38795336--0.38830833) × R
    0.000354969999999954 × 6371000     		dr = 2261.51386999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39346607-0.39384957) × cos(-0.38795336) × R
    0.000383499999999981 × 0.925685231033092 × 6371000     		do = 2261.70682275058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39346607-0.39384957) × cos(-0.38830833) × R
    0.000383499999999981 × 0.92555088945904 × 6371000     		du = 2261.37858887104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38795336)-sin(-0.38830833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925685231033092-0.92555088945904)×R²
    abs(0.39384957-0.39346607)×0.000134341574052788×R²
    0.000383499999999981×0.000134341574052788×6371000²
    0.000383499999999981×0.000134341574052788×40589641000000     		ar = 5114510.25049162m²