Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 920 / 1464
↖ ↑ ↗
← S 60.930432°
W 18.281250°		 ← 9 496.83 m → S 60.930432°
W 18.105469°		 →
↑
9 484.06 m
↓
↑
9 484.06 m
↓
S 61.015725°
W 18.281250°		 ← 9 471.38 m →
89 947 851 m²		 S 61.015725°
W 18.105469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449462890625 y=0.715087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449462890625 × 211)
    floor (0.449462890625 × 2048)
    floor (920.5)     		tx = 920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.715087890625 × 211)
    floor (0.715087890625 × 2048)
    floor (1464.5)     		ty = 1464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 920 / 1464 ti = "11/920/1464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/920/1464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 920 ÷ 211
    920 ÷ 2048     		x = 0.44921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1464 ÷ 211
    1464 ÷ 2048     		y = 0.71484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44921875 × 2 - 1) × π
    -0.1015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31906800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71484375 × 2 - 1) × π
    -0.4296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.34990309330078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31906800} λ = -0.31906800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.34990309330078))-π/2
    2×atan(0.259265383981145)-π/2
    2×0.253679835104725-π/2
    0.507359670209449-1.57079632675     		φ = -1.06343666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31906800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06343666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.930432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 920 KachelY 1464 -0.31906800 -1.06343666 -18.281250 -60.930432
    Oben rechts KachelX + 1 921 KachelY 1464 -0.31600004 -1.06343666 -18.105469 -60.930432
    Unten links KachelX 920 KachelY + 1 1465 -0.31906800 -1.06492529 -18.281250 -61.015725
    Unten rechts KachelX + 1 921 KachelY + 1 1465 -0.31600004 -1.06492529 -18.105469 -61.015725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06343666--1.06492529) × R
    0.00148862999999988 × 6371000     		dl = 9484.06172999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06343666--1.06492529) × R
    0.00148862999999988 × 6371000     		dr = 9484.06172999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31906800--0.31600004) × cos(-1.06343666) × R
    0.00306796000000004 × 0.485871211628651 × 6371000     		do = 9496.82566171041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31906800--0.31600004) × cos(-1.06492529) × R
    0.00306796000000004 × 0.484569565863171 × 6371000     		du = 9471.38372851451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06343666)-sin(-1.06492529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.485871211628651-0.484569565863171)×R²
    abs(-0.31600004--0.31906800)×0.00130164576548042×R²
    0.00306796000000004×0.00130164576548042×6371000²
    0.00306796000000004×0.00130164576548042×40589641000000     		ar = 89947850.9927374m²