Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 920 / 1391
↖ ↑ ↗
← S 54.059388°
W 18.281250°		 ← 11.472 km → S 54.059388°
W 18.105469°		 →
↑
11.458 km
↓
↑
11.458 km
↓
S 54.162434°
W 18.281250°		 ← 11.444 km →
131.290 km²		 S 54.162434°
W 18.105469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449462890625 y=0.679443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449462890625 × 211)
    floor (0.449462890625 × 2048)
    floor (920.5)     		tx = 920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679443359375 × 211)
    floor (0.679443359375 × 2048)
    floor (1391.5)     		ty = 1391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 920 / 1391 ti = "11/920/1391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/920/1391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 920 ÷ 211
    920 ÷ 2048     		x = 0.44921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1391 ÷ 211
    1391 ÷ 2048     		y = 0.67919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44921875 × 2 - 1) × π
    -0.1015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31906800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67919921875 × 2 - 1) × π
    -0.3583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.12594189827588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31906800} λ = -0.31906800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12594189827588))-π/2
    2×atan(0.324346821725229)-π/2
    2×0.313641008289733-π/2
    0.627282016579465-1.57079632675     		φ = -0.94351431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31906800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94351431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.059388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 920 KachelY 1391 -0.31906800 -0.94351431 -18.281250 -54.059388
    Oben rechts KachelX + 1 921 KachelY 1391 -0.31600004 -0.94351431 -18.105469 -54.059388
    Unten links KachelX 920 KachelY + 1 1392 -0.31906800 -0.94531280 -18.281250 -54.162434
    Unten rechts KachelX + 1 921 KachelY + 1 1392 -0.31600004 -0.94531280 -18.105469 -54.162434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94351431--0.94531280) × R
    0.00179848999999999 × 6371000     		dl = 11458.1797899999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94351431--0.94531280) × R
    0.00179848999999999 × 6371000     		dr = 11458.1797899999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31906800--0.31600004) × cos(-0.94351431) × R
    0.00306796000000004 × 0.586946379317181 × 6371000     		do = 11472.4381764929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31906800--0.31600004) × cos(-0.94531280) × R
    0.00306796000000004 × 0.585489326925804 × 6371000     		du = 11443.9586695584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94351431)-sin(-0.94531280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586946379317181-0.585489326925804)×R²
    abs(-0.31600004--0.31906800)×0.00145705239137706×R²
    0.00306796000000004×0.00145705239137706×6371000²
    0.00306796000000004×0.00145705239137706×40589641000000     		ar = 131290132.989418m²