Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 913 / 1372
↖ ↑ ↗
← S 52.052490°
W 19.511718°		 ← 12.020 km → S 52.052490°
W 19.335937°		 →
↑
12.005 km
↓
↑
12.005 km
↓
S 52.160454°
W 19.511718°		 ← 11.991 km →
144.122 km²		 S 52.160454°
W 19.335937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446044921875 y=0.670166015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446044921875 × 211)
    floor (0.446044921875 × 2048)
    floor (913.5)     		tx = 913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670166015625 × 211)
    floor (0.670166015625 × 2048)
    floor (1372.5)     		ty = 1372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 913 / 1372 ti = "11/913/1372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/913/1372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 913 ÷ 211
    913 ÷ 2048     		x = 0.44580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1372 ÷ 211
    1372 ÷ 2048     		y = 0.669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44580078125 × 2 - 1) × π
    -0.1083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34054373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669921875 × 2 - 1) × π
    -0.33984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.06765062833789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34054373} λ = -0.34054373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06765062833789))-π/2
    2×atan(0.343815319277005)-π/2
    2×0.331154492072227-π/2
    0.662308984144454-1.57079632675     		φ = -0.90848734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34054373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.511718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90848734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.052490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 913 KachelY 1372 -0.34054373 -0.90848734 -19.511718 -52.052490
    Oben rechts KachelX + 1 914 KachelY 1372 -0.33747577 -0.90848734 -19.335937 -52.052490
    Unten links KachelX 913 KachelY + 1 1373 -0.34054373 -0.91037167 -19.511718 -52.160454
    Unten rechts KachelX + 1 914 KachelY + 1 1373 -0.33747577 -0.91037167 -19.335937 -52.160454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90848734--0.91037167) × R
    0.00188432999999999 × 6371000     		dl = 12005.0664299999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90848734--0.91037167) × R
    0.00188432999999999 × 6371000     		dr = 12005.0664299999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34054373--0.33747577) × cos(-0.90848734) × R
    0.00306795999999998 × 0.614939297592205 × 6371000     		do = 12019.5870057664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34054373--0.33747577) × cos(-0.91037167) × R
    0.00306795999999998 × 0.613452272249651 × 6371000     		du = 11990.5216483326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90848734)-sin(-0.91037167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614939297592205-0.613452272249651)×R²
    abs(-0.33747577--0.34054373)×0.00148702534255385×R²
    0.00306795999999998×0.00148702534255385×6371000²
    0.00306795999999998×0.00148702534255385×40589641000000     		ar = 144121517.336344m²