Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 910 / 1390
↖ ↑ ↗
← S 53.956085°
W 20.039063°		 ← 11.501 km → S 53.956085°
W 19.863281°		 →
↑
11.487 km
↓
↑
11.487 km
↓
S 54.059388°
W 20.039063°		 ← 11.472 km →
131.945 km²		 S 54.059388°
W 19.863281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444580078125 y=0.678955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444580078125 × 211)
    floor (0.444580078125 × 2048)
    floor (910.5)     		tx = 910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678955078125 × 211)
    floor (0.678955078125 × 2048)
    floor (1390.5)     		ty = 1390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 910 / 1390 ti = "11/910/1390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/910/1390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 910 ÷ 211
    910 ÷ 2048     		x = 0.4443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1390 ÷ 211
    1390 ÷ 2048     		y = 0.6787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4443359375 × 2 - 1) × π
    -0.111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34974762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6787109375 × 2 - 1) × π
    -0.357421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.1228739367002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34974762} λ = -0.34974762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1228739367002))-π/2
    2×atan(0.325343433312798)-π/2
    2×0.314542491405185-π/2
    0.629084982810369-1.57079632675     		φ = -0.94171134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34974762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.039063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94171134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.956085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 910 KachelY 1390 -0.34974762 -0.94171134 -20.039063 -53.956085
    Oben rechts KachelX + 1 911 KachelY 1390 -0.34667966 -0.94171134 -19.863281 -53.956085
    Unten links KachelX 910 KachelY + 1 1391 -0.34974762 -0.94351431 -20.039063 -54.059388
    Unten rechts KachelX + 1 911 KachelY + 1 1391 -0.34667966 -0.94351431 -19.863281 -54.059388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94171134--0.94351431) × R
    0.00180296999999996 × 6371000     		dl = 11486.7218699997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94171134--0.94351431) × R
    0.00180296999999996 × 6371000     		dr = 11486.7218699997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34974762--0.34667966) × cos(-0.94171134) × R
    0.00306795999999998 × 0.588405155574787 × 6371000     		do = 11500.9513780703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34974762--0.34667966) × cos(-0.94351431) × R
    0.00306795999999998 × 0.586946379317181 × 6371000     		du = 11472.4381764927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94171134)-sin(-0.94351431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588405155574787-0.586946379317181)×R²
    abs(-0.34667966--0.34974762)×0.00145877625760527×R²
    0.00306795999999998×0.00145877625760527×6371000²
    0.00306795999999998×0.00145877625760527×40589641000000     		ar = 131944503.854885m²