Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 910 / 1369
↖ ↑ ↗
← S 51.727028°
W 20.039063°		 ← 12.107 km → S 51.727028°
W 19.863281°		 →
↑
12.092 km
↓
↑
12.092 km
↓
S 51.835778°
W 20.039063°		 ← 12.078 km →
146.226 km²		 S 51.835778°
W 19.863281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444580078125 y=0.668701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444580078125 × 211)
    floor (0.444580078125 × 2048)
    floor (910.5)     		tx = 910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668701171875 × 211)
    floor (0.668701171875 × 2048)
    floor (1369.5)     		ty = 1369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 910 / 1369 ti = "11/910/1369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/910/1369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 910 ÷ 211
    910 ÷ 2048     		x = 0.4443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1369 ÷ 211
    1369 ÷ 2048     		y = 0.66845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4443359375 × 2 - 1) × π
    -0.111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34974762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66845703125 × 2 - 1) × π
    -0.3369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.05844674361084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34974762} λ = -0.34974762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05844674361084))-π/2
    2×atan(0.346994363178064)-π/2
    2×0.333994686600669-π/2
    0.667989373201338-1.57079632675     		φ = -0.90280695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34974762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.039063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90280695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.727028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 910 KachelY 1369 -0.34974762 -0.90280695 -20.039063 -51.727028
    Oben rechts KachelX + 1 911 KachelY 1369 -0.34667966 -0.90280695 -19.863281 -51.727028
    Unten links KachelX 910 KachelY + 1 1370 -0.34974762 -0.90470499 -20.039063 -51.835778
    Unten rechts KachelX + 1 911 KachelY + 1 1370 -0.34667966 -0.90470499 -19.863281 -51.835778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90280695--0.90470499) × R
    0.00189804000000005 × 6371000     		dl = 12092.4128400003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90280695--0.90470499) × R
    0.00189804000000005 × 6371000     		dr = 12092.4128400003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34974762--0.34667966) × cos(-0.90280695) × R
    0.00306795999999998 × 0.619408762868 × 6371000     		do = 12106.9470540867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34974762--0.34667966) × cos(-0.90470499) × R
    0.00306795999999998 × 0.617917556336133 × 6371000     		du = 12077.7999712388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90280695)-sin(-0.90470499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619408762868-0.617917556336133)×R²
    abs(-0.34667966--0.34974762)×0.00149120653186696×R²
    0.00306795999999998×0.00149120653186696×6371000²
    0.00306795999999998×0.00149120653186696×40589641000000     		ar = 146226016.629546m²