Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 909 / 1389
↖ ↑ ↗
← S 53.852527°
W 20.214844°		 ← 11.529 km → S 53.852527°
W 20.039063°		 →
↑
11.515 km
↓
↑
11.515 km
↓
S 53.956085°
W 20.214844°		 ← 11.501 km →
132.600 km²		 S 53.956085°
W 20.039063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444091796875 y=0.678466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444091796875 × 211)
    floor (0.444091796875 × 2048)
    floor (909.5)     		tx = 909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678466796875 × 211)
    floor (0.678466796875 × 2048)
    floor (1389.5)     		ty = 1389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 909 / 1389 ti = "11/909/1389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/909/1389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 909 ÷ 211
    909 ÷ 2048     		x = 0.44384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1389 ÷ 211
    1389 ÷ 2048     		y = 0.67822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44384765625 × 2 - 1) × π
    -0.1123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35281558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67822265625 × 2 - 1) × π
    -0.3564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.11980597512451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35281558} λ = -0.35281558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11980597512451))-π/2
    2×atan(0.326343107161471)-π/2
    2×0.315446213559052-π/2
    0.630892427118103-1.57079632675     		φ = -0.93990390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35281558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.214844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93990390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.852527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 909 KachelY 1389 -0.35281558 -0.93990390 -20.214844 -53.852527
    Oben rechts KachelX + 1 910 KachelY 1389 -0.34974762 -0.93990390 -20.039063 -53.852527
    Unten links KachelX 909 KachelY + 1 1390 -0.35281558 -0.94171134 -20.214844 -53.956085
    Unten rechts KachelX + 1 910 KachelY + 1 1390 -0.34974762 -0.94171134 -20.039063 -53.956085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93990390--0.94171134) × R
    0.00180743999999999 × 6371000     		dl = 11515.20024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93990390--0.94171134) × R
    0.00180743999999999 × 6371000     		dr = 11515.20024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35281558--0.34974762) × cos(-0.93990390) × R
    0.00306796000000004 × 0.58986562864102 × 6371000     		do = 11529.497745424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35281558--0.34974762) × cos(-0.94171134) × R
    0.00306796000000004 × 0.588405155574787 × 6371000     		du = 11500.9513780705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93990390)-sin(-0.94171134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58986562864102-0.588405155574787)×R²
    abs(-0.34974762--0.35281558)×0.00146047306623287×R²
    0.00306796000000004×0.00146047306623287×6371000²
    0.00306796000000004×0.00146047306623287×40589641000000     		ar = 132600152.735709m²