Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90844 / 57940
↖ ↑ ↗
← N 20.416717°
E 69.510498°		 ← 286.18 m → N 20.416717°
E 69.513244°		 →
↑
286.19 m
↓
↑
286.19 m
↓
N 20.414143°
E 69.510498°		 ← 286.18 m →
81 901 m²		 N 20.414143°
E 69.513244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.693088531494141 y=0.442050933837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.693088531494141 × 217)
    floor (0.693088531494141 × 131072)
    floor (90844.5)     		tx = 90844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442050933837891 × 217)
    floor (0.442050933837891 × 131072)
    floor (57940.5)     		ty = 57940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90844 / 57940 ti = "17/90844/57940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90844/57940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90844 ÷ 217
    90844 ÷ 131072     		x = 0.693084716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57940 ÷ 217
    57940 ÷ 131072     		y = 0.442047119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.693084716796875 × 2 - 1) × π
    0.38616943359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.21318706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442047119140625 × 2 - 1) × π
    0.11590576171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.364128689513947
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.21318706} λ = 1.21318706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.364128689513947))-π/2
    2×atan(1.43925941983596)-π/2
    2×0.963567630345054-π/2
    1.92713526069011-1.57079632675     		φ = 0.35633893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.21318706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.510498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35633893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.416717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90844 KachelY 57940 1.21318706 0.35633893 69.510498 20.416717
    Oben rechts KachelX + 1 90845 KachelY 57940 1.21323499 0.35633893 69.513244 20.416717
    Unten links KachelX 90844 KachelY + 1 57941 1.21318706 0.35629401 69.510498 20.414143
    Unten rechts KachelX + 1 90845 KachelY + 1 57941 1.21323499 0.35629401 69.513244 20.414143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35633893-0.35629401) × R
    4.49200000000038e-05 × 6371000     		dl = 286.185320000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35633893-0.35629401) × R
    4.49200000000038e-05 × 6371000     		dr = 286.185320000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.21318706-1.21323499) × cos(0.35633893) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.937180249315649 × 6371000     		do = 286.179263405782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.21318706-1.21323499) × cos(0.35629401) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.937195918509814 × 6371000     		du = 286.184048182721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35633893)-sin(0.35629401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937180249315649-0.937195918509814)×R²
    abs(1.21323499-1.21318706)×1.56691941646248e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.56691941646248e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.56691941646248e-05×40589641000000     		ar = 81900.9887553635m²