Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90818 / 57794
↖ ↑ ↗
← N 20.792066°
E 69.439087°		 ← 285.48 m → N 20.792066°
E 69.441833°		 →
↑
285.48 m
↓
↑
285.48 m
↓
N 20.789499°
E 69.439087°		 ← 285.48 m →
81 499 m²		 N 20.789499°
E 69.441833°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.692890167236328 y=0.440937042236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.692890167236328 × 217)
    floor (0.692890167236328 × 131072)
    floor (90818.5)     		tx = 90818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440937042236328 × 217)
    floor (0.440937042236328 × 131072)
    floor (57794.5)     		ty = 57794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90818 / 57794 ti = "17/90818/57794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90818/57794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90818 ÷ 217
    90818 ÷ 131072     		x = 0.692886352539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57794 ÷ 217
    57794 ÷ 131072     		y = 0.440933227539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.692886352539062 × 2 - 1) × π
    0.385772705078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.21194070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440933227539062 × 2 - 1) × π
    0.118133544921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.371127476858475
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.21194070} λ = 1.21194070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.371127476858475))-π/2
    2×atan(1.44936782246756)-π/2
    2×0.966843169268343-π/2
    1.93368633853669-1.57079632675     		φ = 0.36289001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.21194070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.439087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36289001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.792066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90818 KachelY 57794 1.21194070 0.36289001 69.439087 20.792066
    Oben rechts KachelX + 1 90819 KachelY 57794 1.21198863 0.36289001 69.441833 20.792066
    Unten links KachelX 90818 KachelY + 1 57795 1.21194070 0.36284520 69.439087 20.789499
    Unten rechts KachelX + 1 90819 KachelY + 1 57795 1.21198863 0.36284520 69.441833 20.789499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36289001-0.36284520) × R
    4.48100000000062e-05 × 6371000     		dl = 285.48451000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36289001-0.36284520) × R
    4.48100000000062e-05 × 6371000     		dr = 285.48451000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.21194070-1.21198863) × cos(0.36289001) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934874840661958 × 6371000     		do = 285.475279140637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.21194070-1.21198863) × cos(0.36284520) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934890746265572 × 6371000     		du = 285.480136108045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36289001)-sin(0.36284520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934874840661958-0.934890746265572)×R²
    abs(1.21198863-1.21194070)×1.59056036137528e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59056036137528e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59056036137528e-05×40589641000000     		ar = 81499.4634907823m²