Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90818 / 57668
↖ ↑ ↗
← N 21.115249°
E 69.439087°		 ← 284.86 m → N 21.115249°
E 69.441833°		 →
↑
284.91 m
↓
↑
284.91 m
↓
N 21.112687°
E 69.439087°		 ← 284.86 m →
81 160 m²		 N 21.112687°
E 69.441833°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.692890167236328 y=0.439975738525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.692890167236328 × 217)
    floor (0.692890167236328 × 131072)
    floor (90818.5)     		tx = 90818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439975738525391 × 217)
    floor (0.439975738525391 × 131072)
    floor (57668.5)     		ty = 57668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90818 / 57668 ti = "17/90818/57668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90818/57668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90818 ÷ 217
    90818 ÷ 131072     		x = 0.692886352539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57668 ÷ 217
    57668 ÷ 131072     		y = 0.439971923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.692886352539062 × 2 - 1) × π
    0.385772705078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.21194070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439971923828125 × 2 - 1) × π
    0.12005615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.377167526210602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.21194070} λ = 1.21194070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.377167526210602))-π/2
    2×atan(1.4581485670148)-π/2
    2×0.969663474811584-π/2
    1.93932694962317-1.57079632675     		φ = 0.36853062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.21194070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.439087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36853062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.115249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90818 KachelY 57668 1.21194070 0.36853062 69.439087 21.115249
    Oben rechts KachelX + 1 90819 KachelY 57668 1.21198863 0.36853062 69.441833 21.115249
    Unten links KachelX 90818 KachelY + 1 57669 1.21194070 0.36848590 69.439087 21.112687
    Unten rechts KachelX + 1 90819 KachelY + 1 57669 1.21198863 0.36848590 69.441833 21.112687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36853062-0.36848590) × R
    4.47199999999981e-05 × 6371000     		dl = 284.911119999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36853062-0.36848590) × R
    4.47199999999981e-05 × 6371000     		dr = 284.911119999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.21194070-1.21198863) × cos(0.36853062) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.932857689414895 × 6371000     		do = 284.859317741016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.21194070-1.21198863) × cos(0.36848590) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.932873798642913 × 6371000     		du = 284.864236887585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36853062)-sin(0.36848590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932857689414895-0.932873798642913)×R²
    abs(1.21198863-1.21194070)×1.61092280176467e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.61092280176467e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.61092280176467e-05×40589641000000     		ar = 81160.2880333192m²