Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90816 / 57664
↖ ↑ ↗
← N 21.125498°
E 69.433594°		 ← 284.90 m → N 21.125498°
E 69.436340°		 →
↑
284.91 m
↓
↑
284.91 m
↓
N 21.122935°
E 69.433594°		 ← 284.90 m →
81 172 m²		 N 21.122935°
E 69.436340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.692874908447266 y=0.439945220947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.692874908447266 × 217)
    floor (0.692874908447266 × 131072)
    floor (90816.5)     		tx = 90816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439945220947266 × 217)
    floor (0.439945220947266 × 131072)
    floor (57664.5)     		ty = 57664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90816 / 57664 ti = "17/90816/57664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90816/57664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90816 ÷ 217
    90816 ÷ 131072     		x = 0.69287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57664 ÷ 217
    57664 ÷ 131072     		y = 0.43994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69287109375 × 2 - 1) × π
    0.3857421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.21184482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43994140625 × 2 - 1) × π
    0.1201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.377359273809082
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.21184482} λ = 1.21184482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.377359273809082))-π/2
    2×atan(1.45842819030845)-π/2
    2×0.969752908332948-π/2
    1.9395058166659-1.57079632675     		φ = 0.36870949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.21184482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.433594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36870949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.125498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90816 KachelY 57664 1.21184482 0.36870949 69.433594 21.125498
    Oben rechts KachelX + 1 90817 KachelY 57664 1.21189276 0.36870949 69.436340 21.125498
    Unten links KachelX 90816 KachelY + 1 57665 1.21184482 0.36866477 69.433594 21.122935
    Unten rechts KachelX + 1 90817 KachelY + 1 57665 1.21189276 0.36866477 69.436340 21.122935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36870949-0.36866477) × R
    4.47199999999981e-05 × 6371000     		dl = 284.911119999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36870949-0.36866477) × R
    4.47199999999981e-05 × 6371000     		dr = 284.911119999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.21184482-1.21189276) × cos(0.36870949) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932793237451247 × 6371000     		do = 284.899064815356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.21184482-1.21189276) × cos(0.36866477) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932809354141062 × 6371000     		du = 284.903987267269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36870949)-sin(0.36866477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932793237451247-0.932809354141062)×R²
    abs(1.21189276-1.21184482)×1.61166898148268e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61166898148268e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61166898148268e-05×40589641000000     		ar = 81171.6128876252m²