Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90791 / 57695
↖ ↑ ↗
← N 21.046055°
E 69.364929°		 ← 285.05 m → N 21.046055°
E 69.367676°		 →
↑
285.04 m
↓
↑
285.04 m
↓
N 21.043491°
E 69.364929°		 ← 285.06 m →
81 251 m²		 N 21.043491°
E 69.367676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.692684173583984 y=0.440181732177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.692684173583984 × 217)
    floor (0.692684173583984 × 131072)
    floor (90791.5)     		tx = 90791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440181732177734 × 217)
    floor (0.440181732177734 × 131072)
    floor (57695.5)     		ty = 57695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90791 / 57695 ti = "17/90791/57695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90791/57695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90791 ÷ 217
    90791 ÷ 131072     		x = 0.692680358886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57695 ÷ 217
    57695 ÷ 131072     		y = 0.440177917480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.692680358886719 × 2 - 1) × π
    0.385360717773438 × 3.1415926535     		Λ = 1.21064640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440177917480469 × 2 - 1) × π
    0.119644165039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.37587322992086
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.21064640} λ = 1.21064640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.37587322992086))-π/2
    2×atan(1.45626251155521)-π/2
    2×0.969059637072911-π/2
    1.93811927414582-1.57079632675     		φ = 0.36732295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.21064640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.364929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36732295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.046055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90791 KachelY 57695 1.21064640 0.36732295 69.364929 21.046055
    Oben rechts KachelX + 1 90792 KachelY 57695 1.21069434 0.36732295 69.367676 21.046055
    Unten links KachelX 90791 KachelY + 1 57696 1.21064640 0.36727821 69.364929 21.043491
    Unten rechts KachelX + 1 90792 KachelY + 1 57696 1.21069434 0.36727821 69.367676 21.043491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36732295-0.36727821) × R
    4.47399999999876e-05 × 6371000     		dl = 285.038539999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36732295-0.36727821) × R
    4.47399999999876e-05 × 6371000     		dr = 285.038539999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.21064640-1.21069434) × cos(0.36732295) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.933292066236846 × 6371000     		do = 285.051419967651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.21064640-1.21069434) × cos(0.36727821) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.933308132253376 × 6371000     		du = 285.056326942639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36732295)-sin(0.36727821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933292066236846-0.933308132253376)×R²
    abs(1.21069434-1.21064640)×1.60660165300364e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.60660165300364e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.60660165300364e-05×40589641000000     		ar = 81251.3399245046m²