Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90671 / 57649
↖ ↑ ↗
← N 21.163922°
E 69.035339°		 ← 284.83 m → N 21.163922°
E 69.038086°		 →
↑
284.78 m
↓
↑
284.78 m
↓
N 21.161361°
E 69.035339°		 ← 284.83 m →
81 114 m²		 N 21.161361°
E 69.038086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691768646240234 y=0.439830780029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691768646240234 × 217)
    floor (0.691768646240234 × 131072)
    floor (90671.5)     		tx = 90671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439830780029297 × 217)
    floor (0.439830780029297 × 131072)
    floor (57649.5)     		ty = 57649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90671 / 57649 ti = "17/90671/57649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90671/57649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90671 ÷ 217
    90671 ÷ 131072     		x = 0.691764831542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57649 ÷ 217
    57649 ÷ 131072     		y = 0.439826965332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.691764831542969 × 2 - 1) × π
    0.383529663085938 × 3.1415926535     		Λ = 1.20489397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439826965332031 × 2 - 1) × π
    0.120346069335938 × 3.1415926535     		Φ = 0.378078327303383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20489397} λ = 1.20489397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.378078327303383))-π/2
    2×atan(1.4594772553166)-π/2
    2×0.970088228974282-π/2
    1.94017645794856-1.57079632675     		φ = 0.36938013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20489397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.035339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36938013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.163922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90671 KachelY 57649 1.20489397 0.36938013 69.035339 21.163922
    Oben rechts KachelX + 1 90672 KachelY 57649 1.20494191 0.36938013 69.038086 21.163922
    Unten links KachelX 90671 KachelY + 1 57650 1.20489397 0.36933543 69.035339 21.161361
    Unten rechts KachelX + 1 90672 KachelY + 1 57650 1.20494191 0.36933543 69.038086 21.161361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36938013-0.36933543) × R
    4.46999999999531e-05 × 6371000     		dl = 284.783699999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36938013-0.36933543) × R
    4.46999999999531e-05 × 6371000     		dr = 284.783699999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20489397-1.20494191) × cos(0.36938013) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932551321031319 × 6371000     		do = 284.825177313781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20489397-1.20494191) × cos(0.36933543) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932567458473256 × 6371000     		du = 284.830106103927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36938013)-sin(0.36933543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932551321031319-0.932567458473256)×R²
    abs(1.20494191-1.20489397)×1.61374419366256e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61374419366256e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61374419366256e-05×40589641000000     		ar = 81114.2696815333m²