Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90615 / 57641
↖ ↑ ↗
← N 21.184412°
E 68.881531°		 ← 284.73 m → N 21.184412°
E 68.884277°		 →
↑
284.78 m
↓
↑
284.78 m
↓
N 21.181851°
E 68.881531°		 ← 284.73 m →
81 086 m²		 N 21.181851°
E 68.884277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691341400146484 y=0.439769744873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691341400146484 × 217)
    floor (0.691341400146484 × 131072)
    floor (90615.5)     		tx = 90615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439769744873047 × 217)
    floor (0.439769744873047 × 131072)
    floor (57641.5)     		ty = 57641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90615 / 57641 ti = "17/90615/57641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90615/57641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90615 ÷ 217
    90615 ÷ 131072     		x = 0.691337585449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57641 ÷ 217
    57641 ÷ 131072     		y = 0.439765930175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.691337585449219 × 2 - 1) × π
    0.382675170898438 × 3.1415926535     		Λ = 1.20220951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439765930175781 × 2 - 1) × π
    0.120468139648438 × 3.1415926535     		Φ = 0.378461822500343
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20220951} λ = 1.20220951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.378461822500343))-π/2
    2×atan(1.46003706516942)-π/2
    2×0.97026703106825-π/2
    1.9405340621365-1.57079632675     		φ = 0.36973774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20220951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.881531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36973774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.184412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90615 KachelY 57641 1.20220951 0.36973774 68.881531 21.184412
    Oben rechts KachelX + 1 90616 KachelY 57641 1.20225744 0.36973774 68.884277 21.184412
    Unten links KachelX 90615 KachelY + 1 57642 1.20220951 0.36969304 68.881531 21.181851
    Unten rechts KachelX + 1 90616 KachelY + 1 57642 1.20225744 0.36969304 68.884277 21.181851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36973774-0.36969304) × R
    4.47000000000086e-05 × 6371000     		dl = 284.783700000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36973774-0.36969304) × R
    4.47000000000086e-05 × 6371000     		dr = 284.783700000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20220951-1.20225744) × cos(0.36973774) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.932422150805254 × 6371000     		do = 284.726320785714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20220951-1.20225744) × cos(0.36969304) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.932438303153276 × 6371000     		du = 284.731253099495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36973774)-sin(0.36969304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932422150805254-0.932438303153276)×R²
    abs(1.20225744-1.20220951)×1.61523480219916e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.61523480219916e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.61523480219916e-05×40589641000000     		ar = 81086.1174554419m²