Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90573 / 57541
↖ ↑ ↗
← N 21.440286°
E 68.766175°		 ← 284.23 m → N 21.440286°
E 68.768921°		 →
↑
284.27 m
↓
↑
284.27 m
↓
N 21.437730°
E 68.766175°		 ← 284.24 m →
80 800 m²		 N 21.437730°
E 68.768921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691020965576172 y=0.439006805419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691020965576172 × 217)
    floor (0.691020965576172 × 131072)
    floor (90573.5)     		tx = 90573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439006805419922 × 217)
    floor (0.439006805419922 × 131072)
    floor (57541.5)     		ty = 57541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90573 / 57541 ti = "17/90573/57541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90573/57541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90573 ÷ 217
    90573 ÷ 131072     		x = 0.691017150878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57541 ÷ 217
    57541 ÷ 131072     		y = 0.439002990722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.691017150878906 × 2 - 1) × π
    0.382034301757812 × 3.1415926535     		Λ = 1.20019616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439002990722656 × 2 - 1) × π
    0.121994018554688 × 3.1415926535     		Φ = 0.383255512462349
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20019616} λ = 1.20019616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.383255512462349))-π/2
    2×atan(1.46705283246464)-π/2
    2×0.972499960382519-π/2
    1.94499992076504-1.57079632675     		φ = 0.37420359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20019616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.766175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37420359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.440286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90573 KachelY 57541 1.20019616 0.37420359 68.766175 21.440286
    Oben rechts KachelX + 1 90574 KachelY 57541 1.20024409 0.37420359 68.768921 21.440286
    Unten links KachelX 90573 KachelY + 1 57542 1.20019616 0.37415897 68.766175 21.437730
    Unten rechts KachelX + 1 90574 KachelY + 1 57542 1.20024409 0.37415897 68.768921 21.437730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37420359-0.37415897) × R
    4.46199999999952e-05 × 6371000     		dl = 284.27401999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37420359-0.37415897) × R
    4.46199999999952e-05 × 6371000     		dr = 284.27401999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20019616-1.20024409) × cos(0.37420359) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.930799029890366 × 6371000     		do = 284.230681289527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20019616-1.20024409) × cos(0.37415897) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.930815338972498 × 6371000     		du = 284.235661463954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37420359)-sin(0.37415897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930799029890366-0.930815338972498)×R²
    abs(1.20024409-1.20019616)×1.63090821324596e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.63090821324596e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.63090821324596e-05×40589641000000     		ar = 80800.1062580674m²