Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90572 / 57903
↖ ↑ ↗
← N 20.511927°
E 68.763428°		 ← 286.06 m → N 20.511927°
E 68.766175°		 →
↑
285.99 m
↓
↑
285.99 m
↓
N 20.509355°
E 68.763428°		 ← 286.07 m →
81 813 m²		 N 20.509355°
E 68.766175°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691013336181641 y=0.441768646240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691013336181641 × 217)
    floor (0.691013336181641 × 131072)
    floor (90572.5)     		tx = 90572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441768646240234 × 217)
    floor (0.441768646240234 × 131072)
    floor (57903.5)     		ty = 57903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90572 / 57903 ti = "17/90572/57903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90572/57903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90572 ÷ 217
    90572 ÷ 131072     		x = 0.691009521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57903 ÷ 217
    57903 ÷ 131072     		y = 0.441764831542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.691009521484375 × 2 - 1) × π
    0.38201904296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.20014822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441764831542969 × 2 - 1) × π
    0.116470336914062 × 3.1415926535     		Φ = 0.365902354799889
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20014822} λ = 1.20014822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.365902354799889))-π/2
    2×atan(1.44181444952029)-π/2
    2×0.964398494929658-π/2
    1.92879698985932-1.57079632675     		φ = 0.35800066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20014822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.763428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35800066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.511927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90572 KachelY 57903 1.20014822 0.35800066 68.763428 20.511927
    Oben rechts KachelX + 1 90573 KachelY 57903 1.20019616 0.35800066 68.766175 20.511927
    Unten links KachelX 90572 KachelY + 1 57904 1.20014822 0.35795577 68.763428 20.509355
    Unten rechts KachelX + 1 90573 KachelY + 1 57904 1.20019616 0.35795577 68.766175 20.509355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35800066-0.35795577) × R
    4.48900000000196e-05 × 6371000     		dl = 285.994190000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35800066-0.35795577) × R
    4.48900000000196e-05 × 6371000     		dr = 285.994190000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20014822-1.20019616) × cos(0.35800066) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936599268616413 × 6371000     		do = 286.061524700439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20014822-1.20019616) × cos(0.35795577) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936614997234424 × 6371000     		du = 286.066328625234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35800066)-sin(0.35795577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936599268616413-0.936614997234424)×R²
    abs(1.20019616-1.20014822)×1.57286180112459e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57286180112459e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57286180112459e-05×40589641000000     		ar = 81812.6210078696m²