Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90567 / 57927
↖ ↑ ↗
← N 20.450176°
E 68.749695°		 ← 286.18 m → N 20.450176°
E 68.752441°		 →
↑
286.12 m
↓
↑
286.12 m
↓
N 20.447603°
E 68.749695°		 ← 286.18 m →
81 882 m²		 N 20.447603°
E 68.752441°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690975189208984 y=0.441951751708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690975189208984 × 217)
    floor (0.690975189208984 × 131072)
    floor (90567.5)     		tx = 90567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441951751708984 × 217)
    floor (0.441951751708984 × 131072)
    floor (57927.5)     		ty = 57927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90567 / 57927 ti = "17/90567/57927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90567/57927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90567 ÷ 217
    90567 ÷ 131072     		x = 0.690971374511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57927 ÷ 217
    57927 ÷ 131072     		y = 0.441947937011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690971374511719 × 2 - 1) × π
    0.381942749023438 × 3.1415926535     		Λ = 1.19990853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441947937011719 × 2 - 1) × π
    0.116104125976562 × 3.1415926535     		Φ = 0.364751869209007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19990853} λ = 1.19990853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.364751869209007))-π/2
    2×atan(1.4401566166107)-π/2
    2×0.963859614440163-π/2
    1.92771922888033-1.57079632675     		φ = 0.35692290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19990853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.749695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35692290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.450176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90567 KachelY 57927 1.19990853 0.35692290 68.749695 20.450176
    Oben rechts KachelX + 1 90568 KachelY 57927 1.19995647 0.35692290 68.752441 20.450176
    Unten links KachelX 90567 KachelY + 1 57928 1.19990853 0.35687799 68.749695 20.447603
    Unten rechts KachelX + 1 90568 KachelY + 1 57928 1.19995647 0.35687799 68.752441 20.447603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35692290-0.35687799) × R
    4.49100000000091e-05 × 6371000     		dl = 286.121610000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35692290-0.35687799) × R
    4.49100000000091e-05 × 6371000     		dr = 286.121610000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19990853-1.19995647) × cos(0.35692290) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.9369763742237 × 6371000     		do = 286.176702459603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19990853-1.19995647) × cos(0.35687799) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936992064505939 × 6371000     		du = 286.181494675667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35692290)-sin(0.35687799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9369763742237-0.936992064505939)×R²
    abs(1.19995647-1.19990853)×1.56902822395777e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56902822395777e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56902822395777e-05×40589641000000     		ar = 81882.024444369m²