Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90567 / 57685
↖ ↑ ↗
← N 21.071686°
E 68.749695°		 ← 285 m → N 21.071686°
E 68.752441°		 →
↑
284.97 m
↓
↑
284.97 m
↓
N 21.069123°
E 68.749695°		 ← 285.01 m →
81 219 m²		 N 21.069123°
E 68.752441°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690975189208984 y=0.440105438232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690975189208984 × 217)
    floor (0.690975189208984 × 131072)
    floor (90567.5)     		tx = 90567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440105438232422 × 217)
    floor (0.440105438232422 × 131072)
    floor (57685.5)     		ty = 57685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90567 / 57685 ti = "17/90567/57685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90567/57685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90567 ÷ 217
    90567 ÷ 131072     		x = 0.690971374511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57685 ÷ 217
    57685 ÷ 131072     		y = 0.440101623535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690971374511719 × 2 - 1) × π
    0.381942749023438 × 3.1415926535     		Λ = 1.19990853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440101623535156 × 2 - 1) × π
    0.119796752929688 × 3.1415926535     		Φ = 0.376352598917061
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19990853} λ = 1.19990853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.376352598917061))-π/2
    2×atan(1.45696076600097)-π/2
    2×0.96928331345264-π/2
    1.93856662690528-1.57079632675     		φ = 0.36777030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19990853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.749695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36777030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.071686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90567 KachelY 57685 1.19990853 0.36777030 68.749695 21.071686
    Oben rechts KachelX + 1 90568 KachelY 57685 1.19995647 0.36777030 68.752441 21.071686
    Unten links KachelX 90567 KachelY + 1 57686 1.19990853 0.36772557 68.749695 21.069123
    Unten rechts KachelX + 1 90568 KachelY + 1 57686 1.19995647 0.36772557 68.752441 21.069123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36777030-0.36772557) × R
    4.47299999999928e-05 × 6371000     		dl = 284.974829999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36777030-0.36772557) × R
    4.47299999999928e-05 × 6371000     		dr = 284.974829999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19990853-1.19995647) × cos(0.36777030) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933131321305913 × 6371000     		do = 285.00232432685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19990853-1.19995647) × cos(0.36772557) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933147402405374 × 6371000     		du = 285.007235908552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36777030)-sin(0.36772557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933131321305913-0.933147402405374)×R²
    abs(1.19995647-1.19990853)×1.60810994600524e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60810994600524e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60810994600524e-05×40589641000000     		ar = 81219.188776744m²