Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90563 / 57917
↖ ↑ ↗
← N 20.475908°
E 68.738709°		 ← 286.07 m → N 20.475908°
E 68.741455°		 →
↑
286.12 m
↓
↑
286.12 m
↓
N 20.473335°
E 68.738709°		 ← 286.07 m →
81 851 m²		 N 20.473335°
E 68.741455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690944671630859 y=0.441875457763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690944671630859 × 217)
    floor (0.690944671630859 × 131072)
    floor (90563.5)     		tx = 90563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441875457763672 × 217)
    floor (0.441875457763672 × 131072)
    floor (57917.5)     		ty = 57917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90563 / 57917 ti = "17/90563/57917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90563/57917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90563 ÷ 217
    90563 ÷ 131072     		x = 0.690940856933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57917 ÷ 217
    57917 ÷ 131072     		y = 0.441871643066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690940856933594 × 2 - 1) × π
    0.381881713867188 × 3.1415926535     		Λ = 1.19971679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441871643066406 × 2 - 1) × π
    0.116256713867188 × 3.1415926535     		Φ = 0.365231238205208
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19971679} λ = 1.19971679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.365231238205208))-π/2
    2×atan(1.44084714853895)-π/2
    2×0.964084174338352-π/2
    1.9281683486767-1.57079632675     		φ = 0.35737202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19971679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.738709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35737202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.475908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90563 KachelY 57917 1.19971679 0.35737202 68.738709 20.475908
    Oben rechts KachelX + 1 90564 KachelY 57917 1.19976472 0.35737202 68.741455 20.475908
    Unten links KachelX 90563 KachelY + 1 57918 1.19971679 0.35732711 68.738709 20.473335
    Unten rechts KachelX + 1 90564 KachelY + 1 57918 1.19976472 0.35732711 68.741455 20.473335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35737202-0.35732711) × R
    4.49100000000091e-05 × 6371000     		dl = 286.121610000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35737202-0.35732711) × R
    4.49100000000091e-05 × 6371000     		dr = 286.121610000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19971679-1.19976472) × cos(0.35737202) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.93681936047152 × 6371000     		do = 286.069061655735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19971679-1.19976472) × cos(0.35732711) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.936835069651129 × 6371000     		du = 286.07385864271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35737202)-sin(0.35732711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93681936047152-0.936835069651129)×R²
    abs(1.19976472-1.19971679)×1.57091796086917e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.57091796086917e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.57091796086917e-05×40589641000000     		ar = 81851.2267666475m²