Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90563 / 57677
↖ ↑ ↗
← N 21.092188°
E 68.738709°		 ← 284.90 m → N 21.092188°
E 68.741455°		 →
↑
284.97 m
↓
↑
284.97 m
↓
N 21.089625°
E 68.738709°		 ← 284.91 m →
81 191 m²		 N 21.089625°
E 68.741455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690944671630859 y=0.440044403076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690944671630859 × 217)
    floor (0.690944671630859 × 131072)
    floor (90563.5)     		tx = 90563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440044403076172 × 217)
    floor (0.440044403076172 × 131072)
    floor (57677.5)     		ty = 57677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90563 / 57677 ti = "17/90563/57677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90563/57677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90563 ÷ 217
    90563 ÷ 131072     		x = 0.690940856933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57677 ÷ 217
    57677 ÷ 131072     		y = 0.440040588378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690940856933594 × 2 - 1) × π
    0.381881713867188 × 3.1415926535     		Λ = 1.19971679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440040588378906 × 2 - 1) × π
    0.119918823242188 × 3.1415926535     		Φ = 0.376736094114021
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19971679} λ = 1.19971679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.376736094114021))-π/2
    2×atan(1.45751961060716)-π/2
    2×0.969462226804151-π/2
    1.9389244536083-1.57079632675     		φ = 0.36812813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19971679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.738709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36812813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.092188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90563 KachelY 57677 1.19971679 0.36812813 68.738709 21.092188
    Oben rechts KachelX + 1 90564 KachelY 57677 1.19976472 0.36812813 68.741455 21.092188
    Unten links KachelX 90563 KachelY + 1 57678 1.19971679 0.36808340 68.738709 21.089625
    Unten rechts KachelX + 1 90564 KachelY + 1 57678 1.19976472 0.36808340 68.741455 21.089625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36812813-0.36808340) × R
    4.47299999999928e-05 × 6371000     		dl = 284.974829999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36812813-0.36808340) × R
    4.47299999999928e-05 × 6371000     		dr = 284.974829999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19971679-1.19976472) × cos(0.36812813) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.933002608900214 × 6371000     		do = 284.90357064792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19971679-1.19976472) × cos(0.36808340) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.933018704934227 × 6371000     		du = 284.908485765541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36812813)-sin(0.36808340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933002608900214-0.933018704934227)×R²
    abs(1.19976472-1.19971679)×1.6096034012314e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.6096034012314e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.6096034012314e-05×40589641000000     		ar = 81191.0469676934m²