Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90562 / 57666
↖ ↑ ↗
← N 21.120374°
E 68.735962°		 ← 284.91 m → N 21.120374°
E 68.738709°		 →
↑
284.91 m
↓
↑
284.91 m
↓
N 21.117811°
E 68.735962°		 ← 284.91 m →
81 174 m²		 N 21.117811°
E 68.738709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690937042236328 y=0.439960479736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690937042236328 × 217)
    floor (0.690937042236328 × 131072)
    floor (90562.5)     		tx = 90562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439960479736328 × 217)
    floor (0.439960479736328 × 131072)
    floor (57666.5)     		ty = 57666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90562 / 57666 ti = "17/90562/57666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90562/57666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90562 ÷ 217
    90562 ÷ 131072     		x = 0.690933227539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57666 ÷ 217
    57666 ÷ 131072     		y = 0.439956665039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690933227539062 × 2 - 1) × π
    0.381866455078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.19966885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439956665039062 × 2 - 1) × π
    0.120086669921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.377263400009842
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19966885} λ = 1.19966885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.377263400009842))-π/2
    2×atan(1.45828837195949)-π/2
    2×0.96970819234466-π/2
    1.93941638468932-1.57079632675     		φ = 0.36862006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19966885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.735962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36862006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.120374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90562 KachelY 57666 1.19966885 0.36862006 68.735962 21.120374
    Oben rechts KachelX + 1 90563 KachelY 57666 1.19971679 0.36862006 68.738709 21.120374
    Unten links KachelX 90562 KachelY + 1 57667 1.19966885 0.36857534 68.735962 21.117811
    Unten rechts KachelX + 1 90563 KachelY + 1 57667 1.19971679 0.36857534 68.738709 21.117811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36862006-0.36857534) × R
    4.47200000000536e-05 × 6371000     		dl = 284.911120000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36862006-0.36857534) × R
    4.47200000000536e-05 × 6371000     		dr = 284.911120000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19966885-1.19971679) × cos(0.36862006) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.932825465362086 × 6371000     		do = 284.908908050192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19966885-1.19971679) × cos(0.36857534) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.932841578321276 × 6371000     		du = 284.913829362676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36862006)-sin(0.36857534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932825465362086-0.932841578321276)×R²
    abs(1.19971679-1.19966885)×1.61129591892406e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.61129591892406e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.61129591892406e-05×40589641000000     		ar = 81174.4171724768m²