Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90559 / 57683
↖ ↑ ↗
← N 21.076812°
E 68.727722°		 ← 284.99 m → N 21.076812°
E 68.730469°		 →
↑
284.97 m
↓
↑
284.97 m
↓
N 21.074249°
E 68.727722°		 ← 285 m →
81 216 m²		 N 21.074249°
E 68.730469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690914154052734 y=0.440090179443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690914154052734 × 217)
    floor (0.690914154052734 × 131072)
    floor (90559.5)     		tx = 90559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440090179443359 × 217)
    floor (0.440090179443359 × 131072)
    floor (57683.5)     		ty = 57683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90559 / 57683 ti = "17/90559/57683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90559/57683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90559 ÷ 217
    90559 ÷ 131072     		x = 0.690910339355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57683 ÷ 217
    57683 ÷ 131072     		y = 0.440086364746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690910339355469 × 2 - 1) × π
    0.381820678710938 × 3.1415926535     		Λ = 1.19952504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440086364746094 × 2 - 1) × π
    0.119827270507812 × 3.1415926535     		Φ = 0.376448472716301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19952504} λ = 1.19952504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.376448472716301))-π/2
    2×atan(1.4571004570612)-π/2
    2×0.969328044104122-π/2
    1.93865608820824-1.57079632675     		φ = 0.36785976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19952504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.727722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36785976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.076812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90559 KachelY 57683 1.19952504 0.36785976 68.727722 21.076812
    Oben rechts KachelX + 1 90560 KachelY 57683 1.19957298 0.36785976 68.730469 21.076812
    Unten links KachelX 90559 KachelY + 1 57684 1.19952504 0.36781503 68.727722 21.074249
    Unten rechts KachelX + 1 90560 KachelY + 1 57684 1.19957298 0.36781503 68.730469 21.074249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36785976-0.36781503) × R
    4.47299999999928e-05 × 6371000     		dl = 284.974829999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36785976-0.36781503) × R
    4.47299999999928e-05 × 6371000     		dr = 284.974829999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19952504-1.19957298) × cos(0.36785976) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933099153506074 × 6371000     		do = 284.992499452779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19952504-1.19957298) × cos(0.36781503) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.93311523833947 × 6371000     		du = 284.997412174922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36785976)-sin(0.36781503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933099153506074-0.93311523833947)×R²
    abs(1.19957298-1.19952504)×1.60848333955466e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60848333955466e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60848333955466e-05×40589641000000     		ar = 81216.3890973717m²