Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90558 / 57662
↖ ↑ ↗
← N 21.130622°
E 68.724975°		 ← 284.89 m → N 21.130622°
E 68.727722°		 →
↑
284.91 m
↓
↑
284.91 m
↓
N 21.128059°
E 68.724975°		 ← 284.89 m →
81 169 m²		 N 21.128059°
E 68.727722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690906524658203 y=0.439929962158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690906524658203 × 217)
    floor (0.690906524658203 × 131072)
    floor (90558.5)     		tx = 90558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439929962158203 × 217)
    floor (0.439929962158203 × 131072)
    floor (57662.5)     		ty = 57662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90558 / 57662 ti = "17/90558/57662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90558/57662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90558 ÷ 217
    90558 ÷ 131072     		x = 0.690902709960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57662 ÷ 217
    57662 ÷ 131072     		y = 0.439926147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690902709960938 × 2 - 1) × π
    0.381805419921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.19947710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439926147460938 × 2 - 1) × π
    0.120147705078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.377455147608322
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19947710} λ = 1.19947710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.377455147608322))-π/2
    2×atan(1.45856802206296)-π/2
    2×0.969797622776143-π/2
    1.93959524555229-1.57079632675     		φ = 0.36879892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19947710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.724975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36879892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.130622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90558 KachelY 57662 1.19947710 0.36879892 68.724975 21.130622
    Oben rechts KachelX + 1 90559 KachelY 57662 1.19952504 0.36879892 68.727722 21.130622
    Unten links KachelX 90558 KachelY + 1 57663 1.19947710 0.36875420 68.724975 21.128059
    Unten rechts KachelX + 1 90559 KachelY + 1 57663 1.19952504 0.36875420 68.727722 21.128059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36879892-0.36875420) × R
    4.47199999999981e-05 × 6371000     		dl = 284.911119999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36879892-0.36875420) × R
    4.47199999999981e-05 × 6371000     		dr = 284.911119999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19947710-1.19952504) × cos(0.36879892) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932761002080184 × 6371000     		do = 284.889219303295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19947710-1.19952504) × cos(0.36875420) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932777122500496 × 6371000     		du = 284.894142894598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36879892)-sin(0.36875420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932761002080184-0.932777122500496)×R²
    abs(1.19952504-1.19947710)×1.61204203115162e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61204203115162e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61204203115162e-05×40589641000000     		ar = 81168.8079541815m²