Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90550 / 57549
↖ ↑ ↗
← N 21.419833°
E 68.703003°		 ← 284.27 m → N 21.419833°
E 68.705749°		 →
↑
284.27 m
↓
↑
284.27 m
↓
N 21.417276°
E 68.703003°		 ← 284.28 m →
80 811 m²		 N 21.417276°
E 68.705749°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690845489501953 y=0.439067840576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690845489501953 × 217)
    floor (0.690845489501953 × 131072)
    floor (90550.5)     		tx = 90550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439067840576172 × 217)
    floor (0.439067840576172 × 131072)
    floor (57549.5)     		ty = 57549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90550 / 57549 ti = "17/90550/57549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90550/57549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90550 ÷ 217
    90550 ÷ 131072     		x = 0.690841674804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57549 ÷ 217
    57549 ÷ 131072     		y = 0.439064025878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690841674804688 × 2 - 1) × π
    0.381683349609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19909361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439064025878906 × 2 - 1) × π
    0.121871948242188 × 3.1415926535     		Φ = 0.382872017265388
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19909361} λ = 1.19909361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.382872017265388))-π/2
    2×atan(1.46649033261459)-π/2
    2×0.972321469397841-π/2
    1.94464293879568-1.57079632675     		φ = 0.37384661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19909361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.703003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37384661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.419833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90550 KachelY 57549 1.19909361 0.37384661 68.703003 21.419833
    Oben rechts KachelX + 1 90551 KachelY 57549 1.19914154 0.37384661 68.705749 21.419833
    Unten links KachelX 90550 KachelY + 1 57550 1.19909361 0.37380199 68.703003 21.417276
    Unten rechts KachelX + 1 90551 KachelY + 1 57550 1.19914154 0.37380199 68.705749 21.417276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37384661-0.37380199) × R
    4.46200000000507e-05 × 6371000     		dl = 284.274020000323m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37384661-0.37380199) × R
    4.46200000000507e-05 × 6371000     		dr = 284.274020000323m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19909361-1.19914154) × cos(0.37384661) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.930929457959944 × 6371000     		do = 284.270509069622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19909361-1.19914154) × cos(0.37380199) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.930945752214724 × 6371000     		du = 284.275484716339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37384661)-sin(0.37380199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930929457959944-0.930945752214724)×R²
    abs(1.19914154-1.19909361)×1.62942547801137e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.62942547801137e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.62942547801137e-05×40589641000000     		ar = 80811.4276176413m²