Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90547 / 57560
↖ ↑ ↗
← N 21.391705°
E 68.694763°		 ← 284.33 m → N 21.391705°
E 68.697510°		 →
↑
284.34 m
↓
↑
284.34 m
↓
N 21.389148°
E 68.694763°		 ← 284.33 m →
80 845 m²		 N 21.389148°
E 68.697510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690822601318359 y=0.439151763916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690822601318359 × 217)
    floor (0.690822601318359 × 131072)
    floor (90547.5)     		tx = 90547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439151763916016 × 217)
    floor (0.439151763916016 × 131072)
    floor (57560.5)     		ty = 57560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90547 / 57560 ti = "17/90547/57560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90547/57560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90547 ÷ 217
    90547 ÷ 131072     		x = 0.690818786621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57560 ÷ 217
    57560 ÷ 131072     		y = 0.43914794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690818786621094 × 2 - 1) × π
    0.381637573242188 × 3.1415926535     		Λ = 1.19894980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43914794921875 × 2 - 1) × π
    0.1217041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.382344711369568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19894980} λ = 1.19894980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.382344711369568))-π/2
    2×atan(1.46571724746013)-π/2
    2×0.972076003477879-π/2
    1.94415200695576-1.57079632675     		φ = 0.37335568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19894980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.694763°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37335568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.391705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90547 KachelY 57560 1.19894980 0.37335568 68.694763 21.391705
    Oben rechts KachelX + 1 90548 KachelY 57560 1.19899773 0.37335568 68.697510 21.391705
    Unten links KachelX 90547 KachelY + 1 57561 1.19894980 0.37331105 68.694763 21.389148
    Unten rechts KachelX + 1 90548 KachelY + 1 57561 1.19899773 0.37331105 68.697510 21.389148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37335568-0.37331105) × R
    4.46300000000455e-05 × 6371000     		dl = 284.33773000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37335568-0.37331105) × R
    4.46300000000455e-05 × 6371000     		dr = 284.33773000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19894980-1.19899773) × cos(0.37335568) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.93110863293843 × 6371000     		do = 284.325222304778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19894980-1.19899773) × cos(0.37331105) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.931124910445787 × 6371000     		du = 284.330192837468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37335568)-sin(0.37331105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93110863293843-0.931124910445787)×R²
    abs(1.19899773-1.19894980)×1.62775073573318e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.62775073573318e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.62775073573318e-05×40589641000000     		ar = 80845.0949603272m²