Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90538 / 57926
↖ ↑ ↗
← N 20.452750°
E 68.670044°		 ← 286.17 m → N 20.452750°
E 68.672790°		 →
↑
286.19 m
↓
↑
286.19 m
↓
N 20.450176°
E 68.670044°		 ← 286.18 m →
81 899 m²		 N 20.450176°
E 68.672790°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690753936767578 y=0.441944122314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690753936767578 × 217)
    floor (0.690753936767578 × 131072)
    floor (90538.5)     		tx = 90538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441944122314453 × 217)
    floor (0.441944122314453 × 131072)
    floor (57926.5)     		ty = 57926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90538 / 57926 ti = "17/90538/57926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90538/57926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90538 ÷ 217
    90538 ÷ 131072     		x = 0.690750122070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57926 ÷ 217
    57926 ÷ 131072     		y = 0.441940307617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690750122070312 × 2 - 1) × π
    0.381500244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.19851836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441940307617188 × 2 - 1) × π
    0.116119384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.364799806108627
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19851836} λ = 1.19851836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.364799806108627))-π/2
    2×atan(1.44022565490859)-π/2
    2×0.963882072123267-π/2
    1.92776414424653-1.57079632675     		φ = 0.35696782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19851836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.670044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35696782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.452750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90538 KachelY 57926 1.19851836 0.35696782 68.670044 20.452750
    Oben rechts KachelX + 1 90539 KachelY 57926 1.19856630 0.35696782 68.672790 20.452750
    Unten links KachelX 90538 KachelY + 1 57927 1.19851836 0.35692290 68.670044 20.450176
    Unten rechts KachelX + 1 90539 KachelY + 1 57927 1.19856630 0.35692290 68.672790 20.450176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35696782-0.35692290) × R
    4.49200000000038e-05 × 6371000     		dl = 286.185320000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35696782-0.35692290) × R
    4.49200000000038e-05 × 6371000     		dr = 286.185320000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19851836-1.19856630) × cos(0.35696782) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936960678557317 × 6371000     		do = 286.171908599083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19851836-1.19856630) × cos(0.35692290) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.9369763742237 × 6371000     		du = 286.176702459603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35696782)-sin(0.35692290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936960678557317-0.9369763742237)×R²
    abs(1.19856630-1.19851836)×1.56956663828201e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56956663828201e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56956663828201e-05×40589641000000     		ar = 81898.8852174312m²