Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90538 / 57544
↖ ↑ ↗
← N 21.432617°
E 68.670044°		 ← 284.30 m → N 21.432617°
E 68.672790°		 →
↑
284.27 m
↓
↑
284.27 m
↓
N 21.430060°
E 68.670044°		 ← 284.31 m →
80 821 m²		 N 21.430060°
E 68.672790°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690753936767578 y=0.439029693603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690753936767578 × 217)
    floor (0.690753936767578 × 131072)
    floor (90538.5)     		tx = 90538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439029693603516 × 217)
    floor (0.439029693603516 × 131072)
    floor (57544.5)     		ty = 57544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90538 / 57544 ti = "17/90538/57544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90538/57544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90538 ÷ 217
    90538 ÷ 131072     		x = 0.690750122070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57544 ÷ 217
    57544 ÷ 131072     		y = 0.43902587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690750122070312 × 2 - 1) × π
    0.381500244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.19851836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43902587890625 × 2 - 1) × π
    0.1219482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.383111701763489
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19851836} λ = 1.19851836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.383111701763489))-π/2
    2×atan(1.46684186974125)-π/2
    2×0.972433029194148-π/2
    1.9448660583883-1.57079632675     		φ = 0.37406973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19851836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.670044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37406973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.432617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90538 KachelY 57544 1.19851836 0.37406973 68.670044 21.432617
    Oben rechts KachelX + 1 90539 KachelY 57544 1.19856630 0.37406973 68.672790 21.432617
    Unten links KachelX 90538 KachelY + 1 57545 1.19851836 0.37402511 68.670044 21.430060
    Unten rechts KachelX + 1 90539 KachelY + 1 57545 1.19856630 0.37402511 68.672790 21.430060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37406973-0.37402511) × R
    4.46199999999952e-05 × 6371000     		dl = 284.27401999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37406973-0.37402511) × R
    4.46199999999952e-05 × 6371000     		dr = 284.27401999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19851836-1.19856630) × cos(0.37406973) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.930847951577126 × 6371000     		do = 284.304924437741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19851836-1.19856630) × cos(0.37402511) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.930864255099556 × 6371000     		du = 284.309903953144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37406973)-sin(0.37402511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930847951577126-0.930864255099556)×R²
    abs(1.19856630-1.19851836)×1.63035224303165e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63035224303165e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63035224303165e-05×40589641000000     		ar = 80821.2115625139m²