Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90534 / 57918
↖ ↑ ↗
← N 20.473335°
E 68.659058°		 ← 286.07 m → N 20.473335°
E 68.661804°		 →
↑
286.12 m
↓
↑
286.12 m
↓
N 20.470762°
E 68.659058°		 ← 286.08 m →
81 853 m²		 N 20.470762°
E 68.661804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690723419189453 y=0.441883087158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690723419189453 × 217)
    floor (0.690723419189453 × 131072)
    floor (90534.5)     		tx = 90534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441883087158203 × 217)
    floor (0.441883087158203 × 131072)
    floor (57918.5)     		ty = 57918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90534 / 57918 ti = "17/90534/57918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90534/57918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90534 ÷ 217
    90534 ÷ 131072     		x = 0.690719604492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57918 ÷ 217
    57918 ÷ 131072     		y = 0.441879272460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690719604492188 × 2 - 1) × π
    0.381439208984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19832662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441879272460938 × 2 - 1) × π
    0.116241455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.365183301305588
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19832662} λ = 1.19832662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.365183301305588))-π/2
    2×atan(1.44077808044929)-π/2
    2×0.964061720042286-π/2
    1.92812344008457-1.57079632675     		φ = 0.35732711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19832662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.659058°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35732711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.473335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90534 KachelY 57918 1.19832662 0.35732711 68.659058 20.473335
    Oben rechts KachelX + 1 90535 KachelY 57918 1.19837455 0.35732711 68.661804 20.473335
    Unten links KachelX 90534 KachelY + 1 57919 1.19832662 0.35728220 68.659058 20.470762
    Unten rechts KachelX + 1 90535 KachelY + 1 57919 1.19837455 0.35728220 68.661804 20.470762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35732711-0.35728220) × R
    4.49100000000091e-05 × 6371000     		dl = 286.121610000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35732711-0.35728220) × R
    4.49100000000091e-05 × 6371000     		dr = 286.121610000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19832662-1.19837455) × cos(0.35732711) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.936835069651129 × 6371000     		do = 286.073858644035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19832662-1.19837455) × cos(0.35728220) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.936850776941227 × 6371000     		du = 286.078655054025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35732711)-sin(0.35728220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936835069651129-0.936850776941227)×R²
    abs(1.19837455-1.19832662)×1.57072900984767e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57072900984767e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57072900984767e-05×40589641000000     		ar = 81852.5992062901m²