Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90511 / 57486
↖ ↑ ↗
← N 21.580827°
E 68.595886°		 ← 283.96 m → N 21.580827°
E 68.598633°		 →
↑
284.02 m
↓
↑
284.02 m
↓
N 21.578273°
E 68.595886°		 ← 283.96 m →
80 650 m²		 N 21.578273°
E 68.598633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690547943115234 y=0.438587188720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690547943115234 × 217)
    floor (0.690547943115234 × 131072)
    floor (90511.5)     		tx = 90511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438587188720703 × 217)
    floor (0.438587188720703 × 131072)
    floor (57486.5)     		ty = 57486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90511 / 57486 ti = "17/90511/57486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90511/57486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90511 ÷ 217
    90511 ÷ 131072     		x = 0.690544128417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57486 ÷ 217
    57486 ÷ 131072     		y = 0.438583374023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690544128417969 × 2 - 1) × π
    0.381088256835938 × 3.1415926535     		Λ = 1.19722407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438583374023438 × 2 - 1) × π
    0.122833251953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.385892041941452
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19722407} λ = 1.19722407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.385892041941452))-π/2
    2×atan(1.47092586394212)-π/2
    2×0.973726407611085-π/2
    1.94745281522217-1.57079632675     		φ = 0.37665649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19722407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.595886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37665649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.580827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90511 KachelY 57486 1.19722407 0.37665649 68.595886 21.580827
    Oben rechts KachelX + 1 90512 KachelY 57486 1.19727200 0.37665649 68.598633 21.580827
    Unten links KachelX 90511 KachelY + 1 57487 1.19722407 0.37661191 68.595886 21.578273
    Unten rechts KachelX + 1 90512 KachelY + 1 57487 1.19727200 0.37661191 68.598633 21.578273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37665649-0.37661191) × R
    4.45800000000163e-05 × 6371000     		dl = 284.019180000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37665649-0.37661191) × R
    4.45800000000163e-05 × 6371000     		dr = 284.019180000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19722407-1.19727200) × cos(0.37665649) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.929899618770935 × 6371000     		do = 283.956035282977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19722407-1.19727200) × cos(0.37661191) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.92991601496838 × 6371000     		du = 283.961042059113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37665649)-sin(0.37661191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929899618770935-0.92991601496838)×R²
    abs(1.19727200-1.19722407)×1.63961974447568e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.63961974447568e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.63961974447568e-05×40589641000000     		ar = 80649.6713207522m²