Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90501 / 57507
↖ ↑ ↗
← N 21.527182°
E 68.568420°		 ← 284.12 m → N 21.527182°
E 68.571167°		 →
↑
284.08 m
↓
↑
284.08 m
↓
N 21.524627°
E 68.568420°		 ← 284.13 m →
80 714 m²		 N 21.524627°
E 68.571167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690471649169922 y=0.438747406005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690471649169922 × 217)
    floor (0.690471649169922 × 131072)
    floor (90501.5)     		tx = 90501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438747406005859 × 217)
    floor (0.438747406005859 × 131072)
    floor (57507.5)     		ty = 57507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90501 / 57507 ti = "17/90501/57507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90501/57507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90501 ÷ 217
    90501 ÷ 131072     		x = 0.690467834472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57507 ÷ 217
    57507 ÷ 131072     		y = 0.438743591308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690467834472656 × 2 - 1) × π
    0.380935668945312 × 3.1415926535     		Λ = 1.19674470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438743591308594 × 2 - 1) × π
    0.122512817382812 × 3.1415926535     		Φ = 0.384885367049431
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19674470} λ = 1.19674470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.384885367049431))-π/2
    2×atan(1.4694458648708)-π/2
    2×0.973258267716629-π/2
    1.94651653543326-1.57079632675     		φ = 0.37572021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19674470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.568420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37572021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.527182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90501 KachelY 57507 1.19674470 0.37572021 68.568420 21.527182
    Oben rechts KachelX + 1 90502 KachelY 57507 1.19679264 0.37572021 68.571167 21.527182
    Unten links KachelX 90501 KachelY + 1 57508 1.19674470 0.37567562 68.568420 21.524627
    Unten rechts KachelX + 1 90502 KachelY + 1 57508 1.19679264 0.37567562 68.571167 21.524627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37572021-0.37567562) × R
    4.4590000000011e-05 × 6371000     		dl = 284.08289000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37572021-0.37567562) × R
    4.4590000000011e-05 × 6371000     		dr = 284.08289000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19674470-1.19679264) × cos(0.37572021) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.930243587468668 × 6371000     		do = 284.120336082686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19674470-1.19679264) × cos(0.37567562) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.930259948514183 × 6371000     		du = 284.12533316712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37572021)-sin(0.37567562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930243587468668-0.930259948514183)×R²
    abs(1.19679264-1.19674470)×1.63610455156116e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63610455156116e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63610455156116e-05×40589641000000     		ar = 80714.4359886373m²