Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90500 / 57645
↖ ↑ ↗
← N 21.174168°
E 68.565674°		 ← 284.81 m → N 21.174168°
E 68.568420°		 →
↑
284.78 m
↓
↑
284.78 m
↓
N 21.171606°
E 68.565674°		 ← 284.81 m →
81 109 m²		 N 21.171606°
E 68.568420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690464019775391 y=0.439800262451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690464019775391 × 217)
    floor (0.690464019775391 × 131072)
    floor (90500.5)     		tx = 90500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439800262451172 × 217)
    floor (0.439800262451172 × 131072)
    floor (57645.5)     		ty = 57645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90500 / 57645 ti = "17/90500/57645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90500/57645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90500 ÷ 217
    90500 ÷ 131072     		x = 0.690460205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57645 ÷ 217
    57645 ÷ 131072     		y = 0.439796447753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690460205078125 × 2 - 1) × π
    0.38092041015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.19669676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439796447753906 × 2 - 1) × π
    0.120407104492188 × 3.1415926535     		Φ = 0.378270074901863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19669676} λ = 1.19669676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.378270074901863))-π/2
    2×atan(1.45975713340747)-π/2
    2×0.970177633117226-π/2
    1.94035526623445-1.57079632675     		φ = 0.36955894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19669676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.565674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36955894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.174168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90500 KachelY 57645 1.19669676 0.36955894 68.565674 21.174168
    Oben rechts KachelX + 1 90501 KachelY 57645 1.19674470 0.36955894 68.568420 21.174168
    Unten links KachelX 90500 KachelY + 1 57646 1.19669676 0.36951424 68.565674 21.171606
    Unten rechts KachelX + 1 90501 KachelY + 1 57646 1.19674470 0.36951424 68.568420 21.171606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36955894-0.36951424) × R
    4.47000000000086e-05 × 6371000     		dl = 284.783700000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36955894-0.36951424) × R
    4.47000000000086e-05 × 6371000     		dr = 284.783700000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19669676-1.19674470) × cos(0.36955894) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932486749018639 × 6371000     		do = 284.805455359025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19669676-1.19674470) × cos(0.36951424) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932502893914085 × 6371000     		du = 284.810386425664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36955894)-sin(0.36951424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932486749018639-0.932502893914085)×R²
    abs(1.19674470-1.19669676)×1.61448954457688e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61448954457688e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61448954457688e-05×40589641000000     		ar = 81108.6535145345m²