Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90492 / 58100
↖ ↑ ↗
← N 20.004322°
E 68.543701°		 ← 286.94 m → N 20.004322°
E 68.546448°		 →
↑
287.01 m
↓
↑
287.01 m
↓
N 20.001741°
E 68.543701°		 ← 286.94 m →
82 356 m²		 N 20.001741°
E 68.546448°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690402984619141 y=0.443271636962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690402984619141 × 217)
    floor (0.690402984619141 × 131072)
    floor (90492.5)     		tx = 90492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443271636962891 × 217)
    floor (0.443271636962891 × 131072)
    floor (58100.5)     		ty = 58100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90492 / 58100 ti = "17/90492/58100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90492/58100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90492 ÷ 217
    90492 ÷ 131072     		x = 0.690399169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58100 ÷ 217
    58100 ÷ 131072     		y = 0.443267822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690399169921875 × 2 - 1) × π
    0.38079833984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19631327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443267822265625 × 2 - 1) × π
    0.11346435546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.356458785574738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19631327} λ = 1.19631327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.356458785574738))-π/2
    2×atan(1.42826266428077)-π/2
    2×0.959968807740306-π/2
    1.91993761548061-1.57079632675     		φ = 0.34914129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19631327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.543701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34914129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.004322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90492 KachelY 58100 1.19631327 0.34914129 68.543701 20.004322
    Oben rechts KachelX + 1 90493 KachelY 58100 1.19636120 0.34914129 68.546448 20.004322
    Unten links KachelX 90492 KachelY + 1 58101 1.19631327 0.34909624 68.543701 20.001741
    Unten rechts KachelX + 1 90493 KachelY + 1 58101 1.19636120 0.34909624 68.546448 20.001741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34914129-0.34909624) × R
    4.50499999999909e-05 × 6371000     		dl = 287.013549999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34914129-0.34909624) × R
    4.50499999999909e-05 × 6371000     		dr = 287.013549999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19631327-1.19636120) × cos(0.34914129) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.939666816248783 × 6371000     		do = 286.938566532212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19631327-1.19636120) × cos(0.34909624) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.939682226496258 × 6371000     		du = 286.943272236664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34914129)-sin(0.34909624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939666816248783-0.939682226496258)×R²
    abs(1.19636120-1.19631327)×1.54102474757556e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.54102474757556e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.54102474757556e-05×40589641000000     		ar = 82355.9319266826m²