Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90491 / 57643
↖ ↑ ↗
← N 21.179290°
E 68.540955°		 ← 284.80 m → N 21.179290°
E 68.543701°		 →
↑
284.78 m
↓
↑
284.78 m
↓
N 21.176729°
E 68.540955°		 ← 284.80 m →
81 106 m²		 N 21.176729°
E 68.543701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690395355224609 y=0.439785003662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690395355224609 × 217)
    floor (0.690395355224609 × 131072)
    floor (90491.5)     		tx = 90491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439785003662109 × 217)
    floor (0.439785003662109 × 131072)
    floor (57643.5)     		ty = 57643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90491 / 57643 ti = "17/90491/57643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90491/57643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90491 ÷ 217
    90491 ÷ 131072     		x = 0.690391540527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57643 ÷ 217
    57643 ÷ 131072     		y = 0.439781188964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690391540527344 × 2 - 1) × π
    0.380783081054688 × 3.1415926535     		Λ = 1.19626533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439781188964844 × 2 - 1) × π
    0.120437622070312 × 3.1415926535     		Φ = 0.378365948701103
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19626533} λ = 1.19626533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.378365948701103))-π/2
    2×atan(1.45989709257891)-π/2
    2×0.97022233286688-π/2
    1.94044466573376-1.57079632675     		φ = 0.36964834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19626533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.540955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36964834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.179290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90491 KachelY 57643 1.19626533 0.36964834 68.540955 21.179290
    Oben rechts KachelX + 1 90492 KachelY 57643 1.19631327 0.36964834 68.543701 21.179290
    Unten links KachelX 90491 KachelY + 1 57644 1.19626533 0.36960364 68.540955 21.176729
    Unten rechts KachelX + 1 90492 KachelY + 1 57644 1.19631327 0.36960364 68.543701 21.176729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36964834-0.36960364) × R
    4.47000000000086e-05 × 6371000     		dl = 284.783700000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36964834-0.36960364) × R
    4.47000000000086e-05 × 6371000     		dr = 284.783700000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19626533-1.19631327) × cos(0.36964834) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.932454453638202 × 6371000     		do = 284.795591519876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19626533-1.19631327) × cos(0.36960364) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.932470602260001 × 6371000     		du = 284.800523724639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36964834)-sin(0.36960364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932454453638202-0.932470602260001)×R²
    abs(1.19631327-1.19626533)×1.61486217984397e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.61486217984397e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.61486217984397e-05×40589641000000     		ar = 81105.8446160419m²