Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90481 / 57679
↖ ↑ ↗
← N 21.087062°
E 68.513489°		 ← 284.97 m → N 21.087062°
E 68.516235°		 →
↑
284.91 m
↓
↑
284.91 m
↓
N 21.084500°
E 68.513489°		 ← 284.98 m →
81 193 m²		 N 21.084500°
E 68.516235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690319061279297 y=0.440059661865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690319061279297 × 217)
    floor (0.690319061279297 × 131072)
    floor (90481.5)     		tx = 90481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440059661865234 × 217)
    floor (0.440059661865234 × 131072)
    floor (57679.5)     		ty = 57679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90481 / 57679 ti = "17/90481/57679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90481/57679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90481 ÷ 217
    90481 ÷ 131072     		x = 0.690315246582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57679 ÷ 217
    57679 ÷ 131072     		y = 0.440055847167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690315246582031 × 2 - 1) × π
    0.380630493164062 × 3.1415926535     		Λ = 1.19578596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440055847167969 × 2 - 1) × π
    0.119888305664062 × 3.1415926535     		Φ = 0.376640220314781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19578596} λ = 1.19578596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.376640220314781))-π/2
    2×atan(1.45737987936301)-π/2
    2×0.969417500780182-π/2
    1.93883500156036-1.57079632675     		φ = 0.36803867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19578596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.513489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36803867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.087062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90481 KachelY 57679 1.19578596 0.36803867 68.513489 21.087062
    Oben rechts KachelX + 1 90482 KachelY 57679 1.19583390 0.36803867 68.516235 21.087062
    Unten links KachelX 90481 KachelY + 1 57680 1.19578596 0.36799395 68.513489 21.084500
    Unten rechts KachelX + 1 90482 KachelY + 1 57680 1.19583390 0.36799395 68.516235 21.084500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36803867-0.36799395) × R
    4.47199999999981e-05 × 6371000     		dl = 284.911119999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36803867-0.36799395) × R
    4.47199999999981e-05 × 6371000     		dr = 284.911119999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19578596-1.19583390) × cos(0.36803867) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.93303479910148 × 6371000     		do = 284.972843961134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19578596-1.19583390) × cos(0.36799395) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933050887804499 × 6371000     		du = 284.977757865159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36803867)-sin(0.36799395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93303479910148-0.933050887804499)×R²
    abs(1.19583390-1.19578596)×1.6088703018946e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6088703018946e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6088703018946e-05×40589641000000     		ar = 81192.632169019m²