Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90473 / 57783
↖ ↑ ↗
← N 20.820308°
E 68.491516°		 ← 285.42 m → N 20.820308°
E 68.494263°		 →
↑
285.48 m
↓
↑
285.48 m
↓
N 20.817741°
E 68.491516°		 ← 285.43 m →
81 484 m²		 N 20.817741°
E 68.494263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690258026123047 y=0.440853118896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690258026123047 × 217)
    floor (0.690258026123047 × 131072)
    floor (90473.5)     		tx = 90473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440853118896484 × 217)
    floor (0.440853118896484 × 131072)
    floor (57783.5)     		ty = 57783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90473 / 57783 ti = "17/90473/57783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90473/57783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90473 ÷ 217
    90473 ÷ 131072     		x = 0.690254211425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57783 ÷ 217
    57783 ÷ 131072     		y = 0.440849304199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690254211425781 × 2 - 1) × π
    0.380508422851562 × 3.1415926535     		Λ = 1.19540247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440849304199219 × 2 - 1) × π
    0.118301391601562 × 3.1415926535     		Φ = 0.371654782754295
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19540247} λ = 1.19540247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.371654782754295))-π/2
    2×atan(1.45013228420044)-π/2
    2×0.967089628698795-π/2
    1.93417925739759-1.57079632675     		φ = 0.36338293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19540247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.491516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36338293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.820308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90473 KachelY 57783 1.19540247 0.36338293 68.491516 20.820308
    Oben rechts KachelX + 1 90474 KachelY 57783 1.19545040 0.36338293 68.494263 20.820308
    Unten links KachelX 90473 KachelY + 1 57784 1.19540247 0.36333812 68.491516 20.817741
    Unten rechts KachelX + 1 90474 KachelY + 1 57784 1.19545040 0.36333812 68.494263 20.817741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36338293-0.36333812) × R
    4.48100000000062e-05 × 6371000     		dl = 285.48451000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36338293-0.36333812) × R
    4.48100000000062e-05 × 6371000     		dr = 285.48451000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19540247-1.19545040) × cos(0.36338293) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.934699751581702 × 6371000     		do = 285.421813582337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19540247-1.19545040) × cos(0.36333812) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.934715677832835 × 6371000     		du = 285.426676854713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36338293)-sin(0.36333812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934699751581702-0.934715677832835)×R²
    abs(1.19545040-1.19540247)×1.59262511336689e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.59262511336689e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.59262511336689e-05×40589641000000     		ar = 81484.2008020265m²