Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90471 / 57753
↖ ↑ ↗
← N 20.897305°
E 68.486023°		 ← 285.34 m → N 20.897305°
E 68.488770°		 →
↑
285.29 m
↓
↑
285.29 m
↓
N 20.894739°
E 68.486023°		 ← 285.34 m →
81 405 m²		 N 20.894739°
E 68.488770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690242767333984 y=0.440624237060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690242767333984 × 217)
    floor (0.690242767333984 × 131072)
    floor (90471.5)     		tx = 90471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440624237060547 × 217)
    floor (0.440624237060547 × 131072)
    floor (57753.5)     		ty = 57753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90471 / 57753 ti = "17/90471/57753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90471/57753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90471 ÷ 217
    90471 ÷ 131072     		x = 0.690238952636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57753 ÷ 217
    57753 ÷ 131072     		y = 0.440620422363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690238952636719 × 2 - 1) × π
    0.380477905273438 × 3.1415926535     		Λ = 1.19530659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440620422363281 × 2 - 1) × π
    0.118759155273438 × 3.1415926535     		Φ = 0.373092889742897
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19530659} λ = 1.19530659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.373092889742897))-π/2
    2×atan(1.45221922983862)-π/2
    2×0.967761555873616-π/2
    1.93552311174723-1.57079632675     		φ = 0.36472678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19530659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.486023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36472678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.897305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90471 KachelY 57753 1.19530659 0.36472678 68.486023 20.897305
    Oben rechts KachelX + 1 90472 KachelY 57753 1.19535453 0.36472678 68.488770 20.897305
    Unten links KachelX 90471 KachelY + 1 57754 1.19530659 0.36468200 68.486023 20.894739
    Unten rechts KachelX + 1 90472 KachelY + 1 57754 1.19535453 0.36468200 68.488770 20.894739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36472678-0.36468200) × R
    4.47799999999665e-05 × 6371000     		dl = 285.293379999787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36472678-0.36468200) × R
    4.47799999999665e-05 × 6371000     		dr = 285.293379999787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19530659-1.19535453) × cos(0.36472678) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934221251983916 × 6371000     		do = 285.335217210727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19530659-1.19535453) × cos(0.36468200) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934237223807238 × 6371000     		du = 285.340095416684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36472678)-sin(0.36468200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934221251983916-0.934237223807238)×R²
    abs(1.19535453-1.19530659)×1.59718233224693e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59718233224693e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59718233224693e-05×40589641000000     		ar = 81404.9444245413m²