Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90471 / 57737
↖ ↑ ↗
← N 20.938355°
E 68.486023°		 ← 285.26 m → N 20.938355°
E 68.488770°		 →
↑
285.29 m
↓
↑
285.29 m
↓
N 20.935789°
E 68.486023°		 ← 285.26 m →
81 383 m²		 N 20.935789°
E 68.488770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690242767333984 y=0.440502166748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690242767333984 × 217)
    floor (0.690242767333984 × 131072)
    floor (90471.5)     		tx = 90471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440502166748047 × 217)
    floor (0.440502166748047 × 131072)
    floor (57737.5)     		ty = 57737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90471 / 57737 ti = "17/90471/57737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90471/57737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90471 ÷ 217
    90471 ÷ 131072     		x = 0.690238952636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57737 ÷ 217
    57737 ÷ 131072     		y = 0.440498352050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690238952636719 × 2 - 1) × π
    0.380477905273438 × 3.1415926535     		Λ = 1.19530659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440498352050781 × 2 - 1) × π
    0.119003295898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.373859880136818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19530659} λ = 1.19530659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.373859880136818))-π/2
    2×atan(1.4533334952986)-π/2
    2×0.968119776201963-π/2
    1.93623955240393-1.57079632675     		φ = 0.36544323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19530659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.486023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36544323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.938355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90471 KachelY 57737 1.19530659 0.36544323 68.486023 20.938355
    Oben rechts KachelX + 1 90472 KachelY 57737 1.19535453 0.36544323 68.488770 20.938355
    Unten links KachelX 90471 KachelY + 1 57738 1.19530659 0.36539845 68.486023 20.935789
    Unten rechts KachelX + 1 90472 KachelY + 1 57738 1.19535453 0.36539845 68.488770 20.935789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36544323-0.36539845) × R
    4.4780000000022e-05 × 6371000     		dl = 285.29338000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36544323-0.36539845) × R
    4.4780000000022e-05 × 6371000     		dr = 285.29338000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19530659-1.19535453) × cos(0.36544323) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933965458778434 × 6371000     		do = 285.257091381656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19530659-1.19535453) × cos(0.36539845) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933981460570187 × 6371000     		du = 285.261978740743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36544323)-sin(0.36539845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933965458778434-0.933981460570187)×R²
    abs(1.19535453-1.19530659)×1.60017917526512e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60017917526512e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60017917526512e-05×40589641000000     		ar = 81382.656948513m²