Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90470 / 57830
↖ ↑ ↗
← N 20.699600°
E 68.483277°		 ← 285.65 m → N 20.699600°
E 68.486023°		 →
↑
285.68 m
↓
↑
285.68 m
↓
N 20.697031°
E 68.483277°		 ← 285.65 m →
81 604 m²		 N 20.697031°
E 68.486023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690235137939453 y=0.441211700439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690235137939453 × 217)
    floor (0.690235137939453 × 131072)
    floor (90470.5)     		tx = 90470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441211700439453 × 217)
    floor (0.441211700439453 × 131072)
    floor (57830.5)     		ty = 57830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90470 / 57830 ti = "17/90470/57830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90470/57830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90470 ÷ 217
    90470 ÷ 131072     		x = 0.690231323242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57830 ÷ 217
    57830 ÷ 131072     		y = 0.441207885742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690231323242188 × 2 - 1) × π
    0.380462646484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19525866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441207885742188 × 2 - 1) × π
    0.117584228515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.369401748472153
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19525866} λ = 1.19525866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.369401748472153))-π/2
    2×atan(1.44686876424218)-π/2
    2×0.966036252462613-π/2
    1.93207250492523-1.57079632675     		φ = 0.36127618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19525866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.483277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36127618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.699600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90470 KachelY 57830 1.19525866 0.36127618 68.483277 20.699600
    Oben rechts KachelX + 1 90471 KachelY 57830 1.19530659 0.36127618 68.486023 20.699600
    Unten links KachelX 90470 KachelY + 1 57831 1.19525866 0.36123134 68.483277 20.697031
    Unten rechts KachelX + 1 90471 KachelY + 1 57831 1.19530659 0.36123134 68.486023 20.697031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36127618-0.36123134) × R
    4.48399999999904e-05 × 6371000     		dl = 285.675639999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36127618-0.36123134) × R
    4.48399999999904e-05 × 6371000     		dr = 285.675639999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19525866-1.19530659) × cos(0.36127618) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.935446496351702 × 6371000     		do = 285.649841082518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19525866-1.19530659) × cos(0.36123134) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.935462344930699 × 6371000     		du = 285.654680636773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36127618)-sin(0.36123134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935446496351702-0.935462344930699)×R²
    abs(1.19530659-1.19525866)×1.58485789976126e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.58485789976126e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.58485789976126e-05×40589641000000     		ar = 81603.8924521788m²