Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90470 / 57822
↖ ↑ ↗
← N 20.720153°
E 68.483277°		 ← 285.61 m → N 20.720153°
E 68.486023°		 →
↑
285.61 m
↓
↑
285.61 m
↓
N 20.717584°
E 68.483277°		 ← 285.62 m →
81 575 m²		 N 20.717584°
E 68.486023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690235137939453 y=0.441150665283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690235137939453 × 217)
    floor (0.690235137939453 × 131072)
    floor (90470.5)     		tx = 90470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441150665283203 × 217)
    floor (0.441150665283203 × 131072)
    floor (57822.5)     		ty = 57822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90470 / 57822 ti = "17/90470/57822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90470/57822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90470 ÷ 217
    90470 ÷ 131072     		x = 0.690231323242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57822 ÷ 217
    57822 ÷ 131072     		y = 0.441146850585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690231323242188 × 2 - 1) × π
    0.380462646484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19525866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441146850585938 × 2 - 1) × π
    0.117706298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.369785243669113
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19525866} λ = 1.19525866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.369785243669113))-π/2
    2×atan(1.44742373787196)-π/2
    2×0.966215609921544-π/2
    1.93243121984309-1.57079632675     		φ = 0.36163489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19525866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.483277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36163489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.720153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90470 KachelY 57822 1.19525866 0.36163489 68.483277 20.720153
    Oben rechts KachelX + 1 90471 KachelY 57822 1.19530659 0.36163489 68.486023 20.720153
    Unten links KachelX 90470 KachelY + 1 57823 1.19525866 0.36159006 68.483277 20.717584
    Unten rechts KachelX + 1 90471 KachelY + 1 57823 1.19530659 0.36159006 68.486023 20.717584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36163489-0.36159006) × R
    4.48299999999957e-05 × 6371000     		dl = 285.611929999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36163489-0.36159006) × R
    4.48299999999957e-05 × 6371000     		dr = 285.611929999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19525866-1.19530659) × cos(0.36163489) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.93531964355046 × 6371000     		do = 285.61110505362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19525866-1.19530659) × cos(0.36159006) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.935335503637188 × 6371000     		du = 285.615948121899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36163489)-sin(0.36159006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93531964355046-0.935335503637188)×R²
    abs(1.19530659-1.19525866)×1.58600867279368e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.58600867279368e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.58600867279368e-05×40589641000000     		ar = 81574.6305764357m²